Numa fábrica existem três máquinas iguais de uma mesma marca, que trabalham independentemente. A probabilidade de cada máquina avariar num dado espaço de tempo é 0.1. Seja
a variável aleatória que representa o número de máquinas que findo esse tempo estão a trabalhar. Determine:
A função de distribuição de
.
A função de distribuição de
Passo 1
Beleza! O enunciado diz que numa fábrica temos 3 máquinas independentes, cada uma com probabilidade de avariar (quebrar) igual a 0,1 num dado período. Definimos X = número de máquinas QUE AINDA ESTÃO FUNCIONANDO no fim desse tempo.
Conteúdo: Distribuição Binomial e Função de Distribuição Acumulada (CDF).
O que vamos precisar:
Conteúdo: Distribuição Binomial e Função de Distribuição Acumulada (CDF).
O que vamos precisar:
- Saber que, se cada máquina funciona com probabilidade p=0,9 (porque avaria com 0,1), então X~Binomial(n=3,p=0,9).
- Calcular a probabilidade de ter k máquinas funcionando: P(X=k).
- Somar essas probabilidades pra montar a CDF F(x)=P(X≤x).
Passo 2
Teoria Binomial em poucas palavras: quando temos n tentativas independentes (aqui n=3 máquinas) e cada uma “sucesso” (funcionar) com probabilidade p, a probabilidade de termos exatamente k sucessos é
No nosso caso n=3 e p=0,9, então para k=0,1,2,3:
Passo 3
Vamos calcular cada P(X=k):
- P(X=0) =
. - P(X=1) =
. - P(X=2) =
. - P(X=3) =
.
Como checa: 0,001+0,027+0,243+0,729 = 1.
Passo 4
Agora a Função de Distribuição Acumulada
é uma função em degraus. A gente escreve assim:
Para :
Para
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
A função de distribuição acumulada de
é