Numa fábrica existem três máquinas iguais de uma mesma marca, que trabalham independentemente. A probabilidade de cada máquina avariar num dado espaço de tempo é 0.1. Seja X a variável aleatória que representa o número de máquinas que findo esse tempo estão a trabalhar. Determine:
A função de distribuição de X.

Passo 1

Beleza! O enunciado diz que numa fábrica temos 3 máquinas independentes, cada uma com probabilidade de avariar (quebrar) igual a 0,1 num dado período. Definimos X = número de máquinas QUE AINDA ESTÃO FUNCIONANDO no fim desse tempo.
Conteúdo: Distribuição Binomial e Função de Distribuição Acumulada (CDF).
O que vamos precisar:
  • Saber que, se cada máquina funciona com probabilidade p=0,9 (porque avaria com 0,1), então X~Binomial(n=3,p=0,9).
  • Calcular a probabilidade de ter k máquinas funcionando: P(X=k).
  • Somar essas probabilidades pra montar a CDF F(x)=P(X≤x).

Passo 2

Teoria Binomial em poucas palavras: quando temos n tentativas independentes (aqui n=3 máquinas) e cada uma “sucesso” (funcionar) com probabilidade p, a probabilidade de termos exatamente k sucessos é
P(X=k) ;=;binomnk,p^k,(1-p)^,n-k,
No nosso caso n=3 e p=0,9, então para k=0,1,2,3:
P(X=k)=binom3k,(0,9)^k,(0,1)^3-k,

Passo 3

Vamos calcular cada P(X=k):
  • P(X=0) = .
  • P(X=1) = .
  • P(X=2) = .
  • P(X=3) = .
Como checa: 0,001+0,027+0,243+0,729 = 1.

Passo 4

Agora a Função de Distribuição Acumulada F(x)=0 é uma função em degraus. A gente escreve assim:
Para F(x)=P(X=0)=0,001 :
F(x)=P(X=0)+P(X=1)=0,001+0,027=0,028
Para F(x)=0,001+0,027+0,243=0,271 :
F(x)=0,001+0,027+0,243+0,729=1
Para :
Para :
Para :

Resposta

A função de distribuição acumulada de F(x)= 0, & x<0, 0,001, & 0<= x<1, 0,028, & 1<= x<2, 0,271, & 2<= x<3, 1, & x>=3 é

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