A produção de uma dada empresa é resultado da laboração de três máquinas A, B e C. As máquinas A e B produzem 90 % e 4 %, respetivamente, dos produtos que satisfazem os critérios de qualidade. Dos restantes produtos, que terão de ser reciclados, 88 % vêm da máquina B e 9 % da máquina A . Os produtos de boa qualidade constituem 70 % da produção global.
Calcule a probabilidade de um produto extraído aleatoriamente
da produção de C ser de boa qualidade.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem três máquinas (A, B e C) que integram a produção de uma empresa. A questão é: “Qual a probabilidade de um produto que sai da máquina C ser de boa qualidade?”
Matéria: probabilidade condicional e regra da cadeia (ou regra de Bayes).
O que vamos usar:
  • P(G) = probabilidade de um produto ser bom = 70% = 0,7
  • P® = probabilidade de um produto ter de ser reciclado = 1 – P(G) = 0,3
  • P(A|G) = 90% = 0,9
  • P(B|G) = 4% = 0,04
  • P(A|R) = 9% = 0,09
  • P(B|R) = 88% = 0,88
  • E daí tiramos P(C|G) e P(C|R) pelos complementos.

Passo 2

Calcular P(C|G) e P(C|R)
Como as três máquinas são mutuamente exclusivas, para bens de qualidade:
P(A|G)+P(B|G)+P(C|G)=1 ⇒ 0,9+0,04+P(C|G)=1
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P(C|G) = 1 - 0,9 - 0,04 = 0,06
Para produtos reciclados ®:
P(C|R) = 1 - P(A|R) - P(B|R) = 1 - 0,09 - 0,88 = 0,03

Passo 3

Calcular a probabilidade de sair da máquina C (P©) e a probabilidade de sair da máquina C e ser bom (P(G∧C)).
Pelo teorema da prob. total:
P(C) = P(G),P(C|G) + P(R),P(C|R)
Substituindo:
P(C) = 0,7cdot0,06 + 0,3cdot0,03 = 0,042 + 0,009 = 0,051
E
P(G land C) = P(G),P(C|G) = 0,7 cdot 0,06 = 0,042

Passo 4

Agora aplicamos a definição de probabilidade condicional:
P(G mid C) = P(G land C)P(C) = 0,0420,051
Fazendo a divisão:
P(G mid C) approx 0,8235

Resposta

A probabilidade de um produto vindo da máquina C ser de boa qualidade é aproximadamente 82,35%.

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