Numa fábrica existem três máquinas iguais de uma mesma marca, que trabalham independentemente. A probabilidade de cada máquina avariar num dado espaço de tempo é 0.1. Seja
a variável aleatória que representa o número de máquinas que findo esse tempo estão a trabalhar. Determine:
O valor esperado e a variância de
.
O valor esperado e a variância de
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos três máquinas iguais e independentes, cada uma tem probabilidade 0,1 de avariar (quebrar) num certo intervalo de tempo. Definimos a variável aleatória
como o número de máquinas que, ao fim desse tempo, ainda estão funcionando. O que querem é o valor esperado
e a variância
. Aqui vamos mexer com a distribuição binomial e usar suas fórmulas de esperança e variância.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em cada máquina individualmente como um “ensaio de Bernoulli”. Num ensaio de Bernoulli, há só dois resultados: “sucesso” (neste caso, a máquina funcionar) e “fracasso” (a máquina avariar).
- A probabilidade de fracasso é
. - Logo, a de sucesso (funcionar) é
.
Como as 3 máquinas são independentes, o total de máquinas que funcionam,
, segue uma distribuição binomial com parâmetros
Passo 3
A distribuição binomial
significa que
mas, para achar esperança e variância, a gente não precisa somar todas essas probabilidades. Basta lembrar das fórmulas prontas:
Aqui,
é o número de ensaios (máquinas) e
é a probabilidade de sucesso (funcionar).
Passo 4
Agora é só colocar os valores:
Resposta
Esperança
Variância
Variância