Numa fábrica existem três máquinas iguais de uma mesma marca, que trabalham independentemente. A probabilidade de cada máquina avariar num dado espaço de tempo é 0.1. Seja X a variável aleatória que representa o número de máquinas que findo esse tempo estão a trabalhar. Determine:
O valor esperado e a variância de X.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos três máquinas iguais e independentes, cada uma tem probabilidade 0,1 de avariar (quebrar) num certo intervalo de tempo. Definimos a variável aleatória como o número de máquinas que, ao fim desse tempo, ainda estão funcionando. O que querem é o valor esperado e a variância . Aqui vamos mexer com a distribuição binomial e usar suas fórmulas de esperança e variância.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em cada máquina individualmente como um “ensaio de Bernoulli”. Num ensaio de Bernoulli, há só dois resultados: “sucesso” (neste caso, a máquina funcionar) e “fracasso” (a máquina avariar).
  • A probabilidade de fracasso é n = 3 e p = 0,9 .
  • Logo, a de sucesso (funcionar) é .
Como as 3 máquinas são independentes, o total de máquinas que funcionam, , segue uma distribuição binomial com parâmetros

Passo 3

A distribuição binomial P(X = k) = binomnk,p^k,(1-p)^,n-k, significa que
E(X) = n,p e Var(X) = n,p,(1-p)
mas, para achar esperança e variância, a gente não precisa somar todas essas probabilidades. Basta lembrar das fórmulas prontas:
Aqui, é o número de ensaios (máquinas) e é a probabilidade de sucesso (funcionar).

Passo 4

Agora é só colocar os valores:
E(X) = n,p = 3 times 0,9 = 2,7,
Var(X) = n,p,(1-p) = 3 times 0,9 times 0,1 = 0,27

Resposta

Esperança
Variância

Exercícios relacionados