Uma fábrica de lâmpadas especiais tem sua produção com um tempo de vida médio igual a 120 meses, seguindo um comportamento exponencial.
Qual é o percentual de lâmpadas com durabilidade superior a 100 meses?

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de vida das lâmpadas é descrito por uma variável aleatória exponencial com média de 120 meses e pede a porcentagem que dura mais de 100 meses.

Passo 2

Para aplicar a distribuição exponencial, lembramos que se X ~ Exp(λ), a média de X é dada por
E[X]=1lambda
. Como E[X]=120, temos
lambda=1120(em meses^-1)

Passo 3

A teoria da distribuição exponencial também nos dá a probabilidade de excedência (tempo maior que t) por
P(X>t)=integralt^inftylambda e^-lambda x,dx = e^-lambda t

Passo 4

Substituindo lambda=1/120 e t=100 meses, obtemos
P(X>100)=e^-1120cdot100=e^-100120=e^-tfrac56

Passo 5

Agora é só avaliar numericamente e converter em porcentagem:
e^-5/6approx0,4346Rightarrow43,46%approx43,5%

Resposta

Aproximadamente 43,5 % das lâmpadas duram mais de 100 meses.

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