Uma fábrica de lâmpadas oferece uma garantia de troca se a duração da lâmpada for inferior a 60 horas. A duração das lâmpadas é uma variável aleatória contínua
exponencialmente distribuída com
. Para cada 1000 lâmpadas fabricadas, determine quantas lâmpadas são trocadas por conta da garantia. Resposta: 12 lâmpadas
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado pede:
Uma fábrica garante troca se a lâmpada durar menos de 60 h. A vida útil segue uma exponencial com parâmetro “média” 5000 h (ou seja, taxa
).
O que precisamos usar:
Uma fábrica garante troca se a lâmpada durar menos de 60 h. A vida útil
O que precisamos usar:
- A fórmula da exponencial para probabilidade acumulada,
- Multiplicar essa probabilidade por 1000 (já que são 1000 lâmpadas).
Passo 2
Primeiro, recapitulando a teoria da exponencial:
Se , então
Se
Aqui a taxa é
(por hora).
Passo 3
Agora, queremos a probabilidade de uma lâmpada morrer antes de 60 h:
Calculando
, então
Passo 4
Por fim, pra cada 1000 lâmpadas, o número esperado de trocas é
Arredondando pro número de lâmpadas inteiro, dá 12.
Resposta
São trocadas aproximadamente 12 lâmpadas por garantia a cada 1000 fabricadas.