Uma fábrica de lâmpadas oferece uma garantia de troca se a duração da lâmpada for inferior a 60 horas. A duração das lâmpadas é uma variável aleatória contínua X exponencialmente distribuída com lambda=5000. Para cada 1000 lâmpadas fabricadas, determine quantas lâmpadas são trocadas por conta da garantia. Resposta: 12 lâmpadas

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado pede:
Uma fábrica garante troca se a lâmpada durar menos de 60 h. A vida útil segue uma exponencial com parâmetro “média” 5000 h (ou seja, taxa ).
O que precisamos usar:
  • A fórmula da exponencial para probabilidade acumulada,
  • Multiplicar essa probabilidade por 1000 (já que são 1000 lâmpadas).

Passo 2

Primeiro, recapitulando a teoria da exponencial:
Se FX(t) = P(X < t) = 1 - e^-lambda t , então
Aqui a taxa é é (por hora).

Passo 3

Agora, queremos a probabilidade de uma lâmpada morrer antes de 60 h:
P(X<60) ;=; 1 - e^-15000,60 ;=; 1 - e^-0.012
Calculando P(X<60)approx 1 - 0.98807 = 0.01193 , então

Passo 4

Por fim, pra cada 1000 lâmpadas, o número esperado de trocas é
1000 times 0.01193 approx 11.93
Arredondando pro número de lâmpadas inteiro, dá 12.

Resposta

São trocadas aproximadamente 12 lâmpadas por garantia a cada 1000 fabricadas.

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