Em uma fábrica, o lucro obtido na produção de x lapiseiras pode ser estimado pela função \mathrm{L}(\mathrm{x})=\ln (100+\mathrm{x})+\mathrm{c}, com \mathrm{L}(\mathrm{x}) em milhares de reais.
b) Qual é, aproximadamente, o lucro na produção de 1000 lapiseiras?

Passo 1

O enunciado nos dá a função do lucro em milhares de reais
\mathrm{L}(\mathrm{x})=\ln(100+\mathrm{x})+\mathrm{c},
e pede: qual é, aproximadamente, o lucro na produção de 1000 lapiseiras?
Informações relevantes:
  • Deve-se avaliar a função em x=1000.
  • A constante \mathrm{c} aparece na fórmula e não foi numéricamente dada; portanto a resposta terá que manter \mathrm{c} simbólica (a não ser que haja informação extra, o que não foi fornecido).
  • Unidade: \mathrm{L}(\mathrm{x}) está em milhares de reais.

Passo 2

Substituir x=1000 na função para obter a expressão do lucro pedido:
\mathrm{L}(1000)=\ln(100+1000)+\mathrm{c}=\ln(1100)+\mathrm{c}.

Passo 3

Explicando a função logarítmica e a propriedade que vamos usar (aula rápida e prática). A função \ln é o logaritmo natural. Uma propriedade útil é que o logaritmo de um produto se soma:
\ln(ab)=\ln a+\ln b.
Aqui podemos escrever 1100=11\cdot100, então
\ln(1100)=\ln(11)+\ln(100).
Outra identidade útil: \ln(100)=\ln(10^2)=2\ln(10). Assim reduzimos o problema a valores mais conhecidos: \ln(10) e \ln(11).

Passo 4

Agora vamos aproximar numericamente os logaritmos (valores padrão usados sem demonstração detalhada; em prova costuma-se usar calculadora ou tabelas para logaritmos).
Valores aproximados:
\ln(10)\approx 2,302585093, \qquad \ln(11)\approx 2,397895273.
Calcular \ln(1100):
\ln(1100)=\ln(11)+2\ln(10)\approx 2,397895273 + 2\cdot 2,302585093.
Efetuando a multiplicação e soma:
2\cdot 2,302585093 = 4,605170186,
\ln(1100)\approx 2,397895273 + 4,605170186 = 7,003065459.

Passo 5

Voltar à expressão do lucro e apresentar de forma clara e nas unidades pedidas. Em milhares de reais:
\mathrm{L}(1000)\approx 7,003065459 + \mathrm{c}\quad\text{(em milhares de reais).}
Se quiser o valor em reais (multiplicando por 1000):
\mathrm{L}(1000)\approx 7003,065459 + 1000\,\mathrm{c}\quad\text{(em reais).}
Como \mathrm{c} não foi dado numericamente, a resposta final fica expressa em função de \mathrm{c}. Arredondando para três casas decimais, fica \mathrm{L}(1000)\approx 7,003+\mathrm{c} milhares de reais (ou 7003+1000\mathrm{c} reais).

Resposta

\mathrm{L}(1000)\approx 7,003065459+\mathrm{c} (em milhares de reais)
\mathrm{L}(1000)\approx 7003,065459+1000\,\mathrm{c} (em reais)

Exercícios relacionados