Numa fábrica, a máquina 1 produz por dia o dobro de peças que a máquina 2. Sabese que 9 % das peças fabricadas pela máquina 1 são defeituosas, enquanto 12 % de defeituosas são produzidas pela máquina 2. A produção diária das máquinas é misturada. Pergunta-se:
Extraída uma amostra aleatória de 4 peças, pergunta-se:
qual a probabilidade de que essa amostra contenha ao menos 1 peça defeituosa?

Passo 1

Beleza, então o que o exercício tá pedindo? A gente tem duas máquinas que produzem peças e depois misturam tudo. A máquina 1 faz o dobro do que a 2, e elas têm taxas de defeito diferentes: 9% na 1 e 12% na 2. A ideia é sortear 4 peças dessa mistura e achar a probabilidade de sair pelo menos uma peça defeituosa.
Conteúdo: probabilidade total e distribuição binomial. Vamos precisar:
  1. Calcular a probabilidade de uma peça qualquer ser defeituosa (regra da probabilidade total).
  2. Depois usar a binomial pra achar “pelo menos 1” em 4 amostras.

Passo 2

Primeiro passo técnico: descobrir as frações de produção. Se a máquina 2 produz x peças, a 1 produz 2x, total 3x. Logo:
  • P(vir da máquina 1) = 2x/(3x) = 2/3
  • P(vir da máquina 2) = 1/3
Teoria usada: regra da probabilidade total:
P(defeituosa) = P(def|m1)P(m1) + P(def|m2)P(m2)

Passo 3

Agora é só substituir:
P(defeituosa) = 23times 0.09 ;+;13times 0.12 = 0.18 + 0.123 = 0.303 = 0.10
Então cada peça, em média, tem 10% de chance de ser defeituosa.

Passo 4

Como a gente tira 4 peças independentemente (assumindo independência), modelamos o número de defeitos X por uma binomial:
X sim Binomial(n=4,,p=0.10)
A probabilidade de “pelo menos 1 defeito” é
P(X>=1) = 1 - P(X=0) = 1 - (1 - p)^4 = 1 - (0.90)^4

Resposta

P(ao menos 1 defeituosa) = 1 - 0.9^4 = 1 - 0.6561 = 0,3439approx 34,39%

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