As probabilidades de três jogadores A, B e C acertarem um pênalti são respectivamente 2/3, 4/6 e 7/10. Cada jogador chuta uma única vez.
Sabendo-se que ao menos 1 jogador acertou o penâtti, qual a probabilidade de que o jogador B tenha acertado o penâlti?

Passo 1

Beleza, aqui o que a gente tem: três jogadores — A, B e C — chutam um pênalti cada um. As chances de acerto são
, e .
O que a questão pergunta é: “sabendo que pelo menos um deles acertou, qual a probabilidade de que tenha sido o B?”
Conteúdo usado:
  • Probabilidade de eventos independentes (multiplicação de probabilidades).
  • Probabilidade complementar ( ã).
  • Probabilidade condicional ( ).

Passo 2

Calcular a chance de nenhum acertar. Como os chutes são independentes,
  • P(nenhum acerta) = P(A;erra)cdot P(B;erra)cdot P(C;erra) = tfrac13timestfrac13timestfrac310 = tfrac130

  • Logo,

Passo 3

Com isso, a probabilidade de pelo menos um acertar é o complementar de nenhum acertar:
P(pelo menos 1 acerta) =1 - P(nenhum acerta) =1 - tfrac130 = tfrac2930

Passo 4

Agora usamos a definição de probabilidade condicional:
Pl(B;acertoumid pelo menos 1r) =Pl(B;acerta e pelo menos 1r)P(pelo menos 1 acerta)
Repara que se o B acerta então já tem pelo menos um acerto, ou seja
Pl(B;acerta e pelo menos 1r) = P(B;acerta) = tfrac46 = tfrac23
Portanto
Pl(Bmid pelo menos 1r) = tfrac23tfrac2930 = tfrac23timestfrac3029 = tfrac6087 = tfrac2029

Resposta

A probabilidade de o jogador B ter acertado, dado que ao menos um acertou, é .

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