Um fabricante de semicondutores produz controladores usados em aplicações de motores de automóveis. O cliente exige que a queda do processo ou fração defeituosa em uma etapa crítica de fabricação não exceda 5% e que o fabricante demonstre a capacidade do processo neste nível de qualidade usando alpha=0,05.
O fabricante de semicondutores pega uma amostra aleatória de 200 dispositivos e descobre que quatro deles estão com defeito.
O fabricante pode demonstrar a capacidade do processo para o cliente?
Diante deste problema, em um teste de hipótese, qual teste se aplica: teste z ou teste t? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o fabricante quer mostrar que a taxa de defeituosos § não passa de 5% (p₀ = 0,05) usando nível de confiança α = 0,05. Ele tirou uma amostra de n = 200 semicondutores e achou x = 4 defeituosos. Nosso conteúdo aqui é Teste de Hipóteses para proporção. A gente vai precisar:
  1. Formular H₀ e H₁.
  2. Verificar condições para usar o teste z de proporção.
  3. Calcular o valor de z.
  4. Comparar com o valor crítico e concluir.

Passo 2

Primeiro, as hipóteses:
H₀: p = p₀ = 0,05
H₁: p < 0,05
Isso porque a gente quer provar que a fração real de defeitos é menor que 5%. Para usar o teste z de proporção, checamos se np₀ ≥ 5 e n(1–p₀) ≥ 5:
  • np₀ = 200·0,05 = 10 ≥ 5
  • n(1–p₀) = 200·0,95 = 190 ≥ 5
    Então tá tranquilo pra aproximar por distribuição normal (z).

Passo 3

A estatística de teste z para proporção é
z ;=; hat p - p₀raizp₀(1-p₀)n
onde z = 0,02 - 0,05raiz0,05,(1 - 0,05)200 = -0,03raiz0,05 cdot 0,95200 = -0,03raiz0,0002375 approx -0,030,0154 approx -1,95 .
Substituindo:

Passo 4

Pra α = 0,05 num teste unilateral à esquerda, o valor crítico é
zcrit = -1,645
Como nosso z ≈ -1,95 é menor que -1,645, rejeitamos H₀ em favor de H₁. Isso significa que há evidência, a 5% de significância, de que a taxa de defeitos é realmente menor que 5%.

Resposta

Sim, o fabricante consegue demonstrar a capacidade do processo (a fração de defeitos está abaixo de 5% com α = 0,05). Para isso usamos o teste z de proporção, pois n é grande e estamos testando uma proporção, aproximando por distribuição normal.

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