Q6) Numa fábrica, a máquina 1 produz por dia o dobro de peças que a máquina 2. Sabese que
das peças fabricadas pela máquina 1 são defeituosas, enquanto
de defeituosas são produzidas pela máquina 2. A produção diária das máquinas é misturada. Pergunta-se:
a) qual a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa?
Extraída uma amostra aleatória de 4 peças, pergunta-se:
b) qual a probabilidade de que essa amostra contenha ao menos 1 peça defeituosa?
c) qual o número esperado de peças defeituosas, sabendo-se que a amostra contém ao menos 1 peça defeituosa?
a) qual a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa?
b) qual a probabilidade de que essa amostra contenha ao menos 1 peça defeituosa?
c) qual o número esperado de peças defeituosas, sabendo-se que a amostra contém ao menos 1 peça defeituosa?
Passo 1
O enunciado trata de um problema de probabilidade onde duas máquinas produzem peças: a máquina 1 fabrica o dobro de peças da máquina 2, ou seja, em cada dia a fração de produção da máquina 1 é
e da máquina 2 é
. A máquina 1 produz
de peças defeituosas (
) e a máquina 2 produz
de defeituosas (
).
Conteúdos necessários:
Conteúdos necessários:
- Lei da probabilidade total para misturas.
- Distribuição binomial para amostras independentes.
- Cálculo de probabilidade complementar e expectativa condicional.
Passo 2
Para achar a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa usamos a lei da probabilidade total:
Substituindo
,
,
e
, obtém-se
Passo 3
Agora extraímos uma amostra aleatória de
peças. Seja
o número de peças defeituosas na amostra. Então
. Queremos
Como
, segue
Passo 4
O número esperado de peças defeituosas na amostra é
Mas queremos a expectativa condicional dado que há ao menos um defeituoso, isto é,
Aqui usamos a propriedade de que
, pois
não contribui, e então dividimos por
.
Resposta
a)
b)
c) peças defeituosas (em média) dado que há ao menos uma defeituosa na amostra.
b)
c)