Q6) Numa fábrica, a máquina 1 produz por dia o dobro de peças que a máquina 2. Sabese que 9 % das peças fabricadas pela máquina 1 são defeituosas, enquanto 12 % de defeituosas são produzidas pela máquina 2. A produção diária das máquinas é misturada. Pergunta-se:
a) qual a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa?
Extraída uma amostra aleatória de 4 peças, pergunta-se:
b) qual a probabilidade de que essa amostra contenha ao menos 1 peça defeituosa?
c) qual o número esperado de peças defeituosas, sabendo-se que a amostra contém ao menos 1 peça defeituosa?

Passo 1

O enunciado trata de um problema de probabilidade onde duas máquinas produzem peças: a máquina 1 fabrica o dobro de peças da máquina 2, ou seja, em cada dia a fração de produção da máquina 1 é tfrac23 e da máquina 2 é tfrac13. A máquina 1 produz 9% de peças defeituosas ( p1=0,09) e a máquina 2 produz 12% de defeituosas ( p2=0,12).
Conteúdos necessários:
  1. Lei da probabilidade total para misturas.
  2. Distribuição binomial para amostras independentes.
  3. Cálculo de probabilidade complementar e expectativa condicional.

Passo 2

Para achar a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa usamos a lei da probabilidade total:
P(D) ;=; P(Dmid M1),P(M1);+;P(Dmid M2),P(M2)
Substituindo P(M1)=tfrac23, P(M2)=tfrac13, P(Dmid M1)=0,09 e P(Dmid M2)=0,12, obtém-se
P(D)=0,09cdottfrac23+0,12cdottfrac13 =0,06+0,04 =0,10

Passo 3

Agora extraímos uma amostra aleatória de 4 peças. Seja X o número de peças defeituosas na amostra. Então XsimBinomial(n=4,p=0,10). Queremos
P(X>=1)=1-P(X=0)
Como P(X=0)=(1-p)^4=(0,90)^4=0,6561, segue
P(X>=1)=1-0,6561=0,3439

Passo 4

O número esperado de peças defeituosas na amostra é
E[X]=n,p=4cdot0,10=0,4
Mas queremos a expectativa condicional dado que há ao menos um defeituoso, isto é,
E[X mid X>=1] =E[X]P(X>=1) =0,40,3439 approx1,163
Aqui usamos a propriedade de que E[X]=sumk>=1k,P(X=k), pois P(X=0) não contribui, e então dividimos por P(X>=1).

Resposta

a) 0,10
b) 0,3439
c) 1,163 peças defeituosas (em média) dado que há ao menos uma defeituosa na amostra.

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