Q5) As probabilidades de três jogadores A, B e C acertarem um pênalti são respectivamente 2/3, 4/6 e 7/10. Cada jogador chuta uma única vez.
a) Qual a probabilidade de que apenas 1 jogador acerte o penâlti?
b) Qual a probabilidade de que ao menos 1 jogador acerte o penâlti?
c) Sabendo-se que ao menos 1 jogador acertou o penâlti, qual a probabilidade de que o jogador B tenha acertado o penâlti?
a) Qual a probabilidade de que apenas 1 jogador acerte o penâlti?
b) Qual a probabilidade de que ao menos 1 jogador acerte o penâlti?
c) Sabendo-se que ao menos 1 jogador acertou o penâlti, qual a probabilidade de que o jogador B tenha acertado o penâlti?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a probabilidade de três jogadores, A, B e C, acertarem um pênalti. As probabilidades são 2/3, 4/6 e 7/10, respectivamente. Precisamos resolver três partes:
a) A chance de apenas um jogador acertar.
b) A chance de pelo menos um jogador acertar.
c) Sabendo que pelo menos um acertou, qual a probabilidade de que o jogador B tenha sido o que acertou.
b) A chance de pelo menos um jogador acertar.
c) Sabendo que pelo menos um acertou, qual a probabilidade de que o jogador B tenha sido o que acertou.
Vamos usar conceitos de probabilidade básica e regra da multiplicação para eventos independentes.
Passo 2
Parte a) Probabilidade de que apenas 1 jogador acerte o pênalti
Primeiro, vamos entender que “apenas um jogador acertar” significa que um acerta e os outros dois erram. Temos três cenários possíveis:
- Apenas o jogador A acerta.
- Apenas o jogador B acerta.
- Apenas o jogador C acerta.
Vamos calcular a probabilidade de cada um desses cenários e depois somar tudo.
Passo 3
Calculando a probabilidade de cada cenário:
-
A apenas acerta:
- A acerta:
- B erra:
- C erra:
- Probabilidade total:
- A acerta:
-
B apenas acerta:
- A erra:
- B acerta:
- C erra:
- Probabilidade total:
- A erra:
-
C apenas acerta:
- A erra:
- B erra:
- C acerta:
- Probabilidade total:
- A erra:
Passo 4
Somando as probabilidades dos três cenários:
Passo 5
Parte b) Probabilidade de que ao menos 1 jogador acerte o pênalti
“Ao menos um” significa que pode ser 1, 2 ou todos acertando. Uma maneira mais fácil de calcular isso é encontrar a probabilidade do contrário (nenhum acertar) e subtrair de 1.
Passo 6
Calculando a probabilidade de nenhum jogador acertar:
- A erra:
- B erra:
- C erra:
Probabilidade de todos errarem:
Passo 7
Encontrando a probabilidade de ao menos um acertar:
Passo 8
Parte c) Probabilidade de que o jogador B tenha acertado, dado que ao menos um acertou
Aqui, usamos a probabilidade condicional. Queremos
.
A fórmula para isso é:
Como se B acertou, automaticamente “ao menos um acertou”, então:
Passo 9
Calculando
:
- B acerta:
Usando o resultado da parte b):
Então:
Resposta
a) A probabilidade de que apenas 1 jogador acerte o pênalti é
.
b) A probabilidade de que ao menos 1 jogador acerte o pênalti é
.
c) Sabendo que ao menos 1 jogador acertou, a probabilidade de que o jogador B tenha acertado é
.