Q5) As probabilidades de três jogadores A, B e C acertarem um pênalti são respectivamente 2/3, 4/6 e 7/10. Cada jogador chuta uma única vez.
a) Qual a probabilidade de que apenas 1 jogador acerte o penâlti?
b) Qual a probabilidade de que ao menos 1 jogador acerte o penâlti?
c) Sabendo-se que ao menos 1 jogador acertou o penâlti, qual a probabilidade de que o jogador B tenha acertado o penâlti?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a probabilidade de três jogadores, A, B e C, acertarem um pênalti. As probabilidades são 2/3, 4/6 e 7/10, respectivamente. Precisamos resolver três partes:
a) A chance de apenas um jogador acertar.
b) A chance de pelo menos um jogador acertar.
c) Sabendo que pelo menos um acertou, qual a probabilidade de que o jogador B tenha sido o que acertou.
Vamos usar conceitos de probabilidade básica e regra da multiplicação para eventos independentes.

Passo 2

Parte a) Probabilidade de que apenas 1 jogador acerte o pênalti
Primeiro, vamos entender que “apenas um jogador acertar” significa que um acerta e os outros dois erram. Temos três cenários possíveis:
  1. Apenas o jogador A acerta.
  2. Apenas o jogador B acerta.
  3. Apenas o jogador C acerta.
Vamos calcular a probabilidade de cada um desses cenários e depois somar tudo.

Passo 3

Calculando a probabilidade de cada cenário:
  1. A apenas acerta:
    • A acerta: 23
    • B erra: 1 - 46 = 26 = 13
    • C erra: 1 - 710 = 310
    • Probabilidade total: 23 times 13 times 310 = 690 = 115
  2. B apenas acerta:
    • A erra: 1 - 23 = 13
    • B acerta: 46 = 23
    • C erra: 310
    • Probabilidade total: 13 times 23 times 310 = 690 = 115
  3. C apenas acerta:
    • A erra: 13
    • B erra: 13
    • C acerta: 710
    • Probabilidade total: 13 times 13 times 710 = 790

Passo 4

Somando as probabilidades dos três cenários:
115 + 115 + 790 = 690 + 690 + 790 = 1990

Passo 5

Parte b) Probabilidade de que ao menos 1 jogador acerte o pênalti
Ao menos um” significa que pode ser 1, 2 ou todos acertando. Uma maneira mais fácil de calcular isso é encontrar a probabilidade do contrário (nenhum acertar) e subtrair de 1.

Passo 6

Calculando a probabilidade de nenhum jogador acertar:
  • A erra: 13
  • B erra: 13
  • C erra: 310
Probabilidade de todos errarem:
13 times 13 times 310 = 390 = 130

Passo 7

Encontrando a probabilidade de ao menos um acertar:
1 - 130 = 2930

Passo 8

Parte c) Probabilidade de que o jogador B tenha acertado, dado que ao menos um acertou
Aqui, usamos a probabilidade condicional. Queremos P(B acertou ,|, ao menos um acertou) .
A fórmula para isso é:
P(B acertou ,|, ao menos um acertou) = P(B acertou e ao menos um acertou)P(ao menos um acertou)
Como se B acertou, automaticamente “ao menos um acertou”, então:
P(B acertou ,|, ao menos um acertou) = P(B acertou)P(ao menos um acertou)

Passo 9

Calculando P(B acertou) :
  • B acerta: 46 = 23
Usando o resultado da parte b):
P(ao menos um acertou) = 2930
Então:
P(B acertou ,|, ao menos um acertou) = 232930 = 23 times 3029 = 6087 = 2029

Resposta

a) A probabilidade de que apenas 1 jogador acerte o pênalti é 1990 .
b) A probabilidade de que ao menos 1 jogador acerte o pênalti é 2930 .
c) Sabendo que ao menos 1 jogador acertou, a probabilidade de que o jogador B tenha acertado é 2029 .

Exercícios relacionados