Numa fábrica, a máquina 1 produz o dobro de peças da máquina 2. Sabe-se que 3 \% das peças fabricadas pela máquina 1 tendem a ser defeituosas, enquanto 6 \% de defeituosas são produzidas pela máquina 2. A produção diária é misturada. Extraida uma amostra aleatória de 30 peças, qual é a probabilidade de que essa amostra contenha. (3,0 pontos)
(a) Duas peças defeituosas?
(b) Três ou mais peças defeituosas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar direitinho):
  • A máquina 1 produz o dobro de peças da máquina 2, portanto as proporções de produção são:
    • P(\text{peça vinda da máquina 1})=\dfrac{2}{3}çá.
    • P(\text{peça vinda da máquina 2})=\dfrac{1}{3}çá.
  • Taxas de peças defeituosas:
    • Se a peça veio da máquina 1, P(\text{defeito}\mid\text{máquina 1})=3\%á, ou seja \,0,03.
    • Se a peça veio da máquina 2, P(\text{defeito}\mid\text{máquina 2})=6\%á, ou seja \,0,06.
  • Foi extraída uma amostra aleatória de 30 peças: n=30.
    As perguntas que precisamos responder:
    (a) Qual a probabilidade de exatamente duas peças defeituosas na amostra?
    (b) Qual a probabilidade de três ou mais peças defeituosas na amostra?

Passo 2

Calcular a probabilidade de uma peça aleatória ser defeituosa (mistura das máquinas) usando a lei da probabilidade total:
P(\text{defeito})=P(\text{defeito}\mid\text{M1})P(\text{M1})+P(\text{defeito}\mid\text{M2})P(\text{M2}).
Substituindo os valores:
P(\text{defeito})=\left(\dfrac{2}{3}\right)\cdot 0,03+\left(\dfrac{1}{3}\right)\cdot 0,06.
Calculemos cada termo:
\left(\dfrac{2}{3}\right)\cdot 0,03 = 0,02,\qquad \left(\dfrac{1}{3}\right)\cdot 0,06 = 0,02.
Logo
p:=P(\text{defeito})=0,02+0,02=0,04.
Interpretação prática: cada peça, escolhida ao acaso da produção, tem probabilidade 0,04 (ou 4\%) de ser defeituosa.

Passo 3

Modelagem do problema: ao extrair n=30 peças independentemente e com probabilidade p=0,04 de defeito cada uma, o número X de peças defeituosas na amostra segue a distribuição binomial
X\sim\mathrm{Binomial}(n=30,p=0,04).
A fórmula da probabilidade de exatamente k defeituosas é
P(X=k)=\binom{30}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{30-k},
onde \binom{30}{k} é o número de maneiras de escolher k peças dentre 30. Um lembrete prático: \binom{30}{2}=\dfrac{30\cdot29}{2}=435.

Passo 4

Queremos P(X=2). Pela fórmula:
P(X=2)=\binom{30}{2}\,(0,04)^{2}\,(0,96)^{28}.
Calculemos passo a passo:
\binom{30}{2}=435, \qquad (0,04)^{2}=0,0016.
Agora a potência (0,96)^{28} (pode ser obtida por multiplicações sucessivas ou usando logaritmos); um valor numérico com precisão é
(0,96)^{28}\approx 0,3197326852181493.
Multiplicando:
(0,04)^{2}\,(0,96)^{28}=0,0016\cdot 0,3197326852181493\approx 0,0005115722963490389.
Finalmente
P(X=2)=435\cdot 0,0005115722963490389\approx 0,2225339489.
Arredondando razoavelmente, P(X=2)\approx 0,2225 (ou 22,25\%).

Passo 5

Queremos P(X\ge 3). É mais simples usar o complementar:
P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)=1-\big(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\big).
Calculamos P(X=0) e P(X=1):
P(X=0)=(0,96)^{30}\approx 0,2946656426970544.
P(X=1)=\binom{30}{1}\,0,04\,(0,96)^{29}=30\cdot 0,04\cdot(0,96)^{29}.
Como (0,96)^{29}=(0,96)^{28}\cdot0,96\approx 0,3197326852181493\cdot 0,96\approx 0,30694337780942336, temos
P(X=1)=30\cdot 0,04\cdot 0,30694337780942336=1,2\cdot 0,30694337780942336\approx 0,36833205337130803.
Já calculamos P(X=2)\approx 0,22253394891183192 no passo anterior (valor com mais dígitos).
Somando:
P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\approx 0,2946656426970544+0,36833205337130803+0,22253394891183192
\approx 0,8855316449801943.
Portanto
P(X\ge 3)=1-0,8855316449801943\approx 0,1144683550198057.
Arredondando, P(X\ge 3)\approx 0,1145 (ou 11,45\%).
Observação rápida e motivadora: como checagem rápida, a média esperada é \mathbb{E}[X]=np=30\cdot0,04=1,2. Assim não é surpresa que a probabilidade de 3 ou mais defeituosas seja relativamente pequena (~11%).

Resposta

P(X=2)\approx 0,2225
P(X\ge 3)\approx 0,1145

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