Numa fábrica, a máquina 1 produz o dobro de peças da máquina 2. Sabe-se que
das peças fabricadas pela máquina 1 tendem a ser defeituosas, enquanto
de defeituosas são produzidas pela máquina 2. A produção diária é misturada. Extraida uma amostra aleatória de 30 peças, qual é a probabilidade de que essa amostra contenha. (3,0 pontos)
(a) Duas peças defeituosas?
(b) Três ou mais peças defeituosas?
(a) Duas peças defeituosas?
(b) Três ou mais peças defeituosas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar direitinho):
- A máquina 1 produz o dobro de peças da máquina 2, portanto as proporções de produção são:
-
. -
.
-
- Taxas de peças defeituosas:
- Se a peça veio da máquina 1,
, ou seja . - Se a peça veio da máquina 2,
, ou seja .
- Se a peça veio da máquina 1,
- Foi extraída uma amostra aleatória de
peças: .
As perguntas que precisamos responder:
(a) Qual a probabilidade de exatamente duas peças defeituosas na amostra?
(b) Qual a probabilidade de três ou mais peças defeituosas na amostra?
Passo 2
Calcular a probabilidade de uma peça aleatória ser defeituosa (mistura das máquinas) usando a lei da probabilidade total:
Substituindo os valores:
Calculemos cada termo:
Logo
Interpretação prática: cada peça, escolhida ao acaso da produção, tem probabilidade
(ou
) de ser defeituosa.
Passo 3
Modelagem do problema: ao extrair
peças independentemente e com probabilidade
de defeito cada uma, o número
de peças defeituosas na amostra segue a distribuição binomial
A fórmula da probabilidade de exatamente
defeituosas é
onde
é o número de maneiras de escolher
peças dentre 30. Um lembrete prático:
.
Passo 4
Queremos
. Pela fórmula:
Calculemos passo a passo:
Agora a potência
(pode ser obtida por multiplicações sucessivas ou usando logaritmos); um valor numérico com precisão é
Multiplicando:
Finalmente
Arredondando razoavelmente,
(ou
).
Passo 5
Queremos
. É mais simples usar o complementar:
Calculamos
e
:
Como
, temos
Já calculamos
no passo anterior (valor com mais dígitos).
Somando:
Somando:
Portanto
Arredondando,
(ou
).
Observação rápida e motivadora: como checagem rápida, a média esperada é
. Assim não é surpresa que a probabilidade de 3 ou mais defeituosas seja relativamente pequena (~11%).