Em uma fábrica, a produção diária de determinada peça é realizada da seguinte maneira: a máquina A produz
, a máquina B produz
e a máquina C o restante. Sabe-se que tendem a ser defeituosas
das peças fabricadas pela máquina
das peças produzidas pela máquina B e
de peças produzidas pela máquina C . A produção diária de todas as máquinas é misturada.
(a) Extraída uma peça de maneira aleatória, qual é a probabilidade dessa peça ser defeituosa?
(b) Se uma peça é defeituosa, qual a probabilidade de ter vindo da máquina A ?
(c) Se uma peça é não defeituosa, qual a probabilidade de ter vindo da máquina B ?
(a) Extraída uma peça de maneira aleatória, qual é a probabilidade dessa peça ser defeituosa?
(b) Se uma peça é defeituosa, qual a probabilidade de ter vindo da máquina A ?
(c) Se uma peça é não defeituosa, qual a probabilidade de ter vindo da máquina B ?
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede. Dados (peguei todos estes números do enunciado):
- A produção diária é feita por três máquinas com participações:
- Máquina A:
. - Máquina B:
. - Máquina C: o restante, ou seja
.
- Máquina A:
- Probabilidades de uma peça ser defeituosa condicionadas à máquina:
-
. -
. -
.
-
O enunciado pede três coisas:
(a) A probabilidade de uma peça escolhida aleatoriamente ser defeituosa.
(b) Dada uma peça defeituosa, a probabilidade de ela ter vindo da máquina A.
(c) Dada uma peça não defeituosa, a probabilidade de ela ter vindo da máquina B.
(a) A probabilidade de uma peça escolhida aleatoriamente ser defeituosa.
(b) Dada uma peça defeituosa, a probabilidade de ela ter vindo da máquina A.
(c) Dada uma peça não defeituosa, a probabilidade de ela ter vindo da máquina B.
Passo 2
Defino eventos e explico as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
-
Definir eventos:
-
: peça veio da máquina A. -
: peça veio da máquina B. -
: peça veio da máquina C. -
: peça é defeituosa. -
: peça é não defeituosa.
-
-
Conversão de percentuais para probabilidades (sempre importante):
-
(pois ). -
. -
. -
. -
. -
.
-
-
Fórmula que usaremos para (a): regra da probabilidade total (mistura das máquinas). Explico: quando uma peça pode vir de A, B ou C mutuamente exclusivos e esgotantes, a probabilidade de ser defeituosa é a soma das probabilidades de cada caminho “vir de X e ser defeituosa”:
- Fórmula que usaremos para (b): Teorema de Bayes. Explico: para saber a probabilidade de que a peça venha de A dado que é defeituosa:
- Para (c) usamos Bayes aplicado ao complementar: queremos
. A fórmula é
onde
e
.
Passo 3
Calcular
passo a passo (parte (a)).
-
Calculo dos termos:
-
. Faço a multiplicação: . -
. Multiplicando: . -
. Multiplicando: .
-
-
Somando os três caminhos:
- Interpretação: a probabilidade de uma peça aleatória ser defeituosa é
, ou seja .
Passo 4
Calcular
(parte (b)) com Bayes, mostrando simplificação racional.
- Aplicando a fórmula:
- É útil escrever em frações exatas para simplificar:
e . Então
- Valor numérico aproximado:
ou seja aproximadamente
.
- Interpretação curta: entre todas as peças defeituosas, cerca de
vieram da máquina A.
Passo 5
Calcular
(parte (c)) com cuidado (complemento).
- Primeiro obtenho
:
- Calcular o numerador
:
- Agora aplicar Bayes para o complementar:
- Simplificando em frações:
e , então
- Valor numérico aproximado:
ou seja aproximadamente
.
- Interpretação: entre todas as peças não defeituosas, cerca de
vieram da máquina B.
Passo 6
Resumo interpretativo rápido (para a prova): a técnica central foi usar a regra da probabilidade total para (a) e o Teorema de Bayes para (b) e (c). Ao fazer contas com percentuais, converte sempre para números decimais (ou frações) e, quando possível, procure simplificar em frações exatas para evitar erro de arredondamento — como fizemos com
e
. Vai dar certo, força aí!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)