Em uma fábrica, a produção diária de determinada peça é realizada da seguinte maneira: a máquina A produz 18,75 \%, a máquina B produz 6,25 \% e a máquina C o restante. Sabe-se que tendem a ser defeituosas 6 \% das peças fabricadas pela máquina \mathrm{A}, 4 \% das peças produzidas pela máquina B e 8 \% de peças produzidas pela máquina C . A produção diária de todas as máquinas é misturada.
(a) Extraída uma peça de maneira aleatória, qual é a probabilidade dessa peça ser defeituosa?
(b) Se uma peça é defeituosa, qual a probabilidade de ter vindo da máquina A ?
(c) Se uma peça é não defeituosa, qual a probabilidade de ter vindo da máquina B ?

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede. Dados (peguei todos estes números do enunciado):
  • A produção diária é feita por três máquinas com participações:
    • Máquina A: 18{,}75\%.
    • Máquina B: 6{,}25\%.
    • Máquina C: o restante, ou seja 100\% - 18{,}75\% - 6{,}25\% = 75\%.
  • Probabilidades de uma peça ser defeituosa condicionadas à máquina:
    • P(\text{defeito}\mid A)=6\%.
    • P(\text{defeito}\mid B)=4\%.
    • P(\text{defeito}\mid C)=8\%.
O enunciado pede três coisas:
(a) A probabilidade de uma peça escolhida aleatoriamente ser defeituosa.
(b) Dada uma peça defeituosa, a probabilidade de ela ter vindo da máquina A.
(c) Dada uma peça não defeituosa, a probabilidade de ela ter vindo da máquina B.

Passo 2

Defino eventos e explico as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Definir eventos:
    • A: peça veio da máquina A.
    • B: peça veio da máquina B.
    • C: peça veio da máquina C.
    • D: peça é defeituosa.
    • D^{c}: peça é não defeituosa.
  • Conversão de percentuais para probabilidades (sempre importante):
    • P(A)=0{,}1875 (pois 18{,}75\%=0{,}1875).
    • P(B)=0{,}0625.
    • P\text{(C)}=0{,}75.
    • P(D\mid A)=0{,}06.
    • P(D\mid B)=0{,}04.
    • P(D\mid C)=0{,}08.
  • Fórmula que usaremos para (a): regra da probabilidade total (mistura das máquinas). Explico: quando uma peça pode vir de A, B ou C mutuamente exclusivos e esgotantes, a probabilidade de ser defeituosa é a soma das probabilidades de cada caminho “vir de X e ser defeituosa”:
P(D)=P(A)\,P(D\mid A)+P(B)\,P(D\mid B)+P\text{(C)}\,P(D\mid C).
  • Fórmula que usaremos para (b): Teorema de Bayes. Explico: para saber a probabilidade de que a peça venha de A dado que é defeituosa:
P(A\mid D)=\frac{P(A)\,P(D\mid A)}{P(D)}.
  • Para (c) usamos Bayes aplicado ao complementar: queremos P(B\mid D^{c}). A fórmula é
P(B\mid D^{c})=\frac{P(B)\,P(D^{c}\mid B)}{P(D^{c})},
onde P(D^{c}\mid B)=1-P(D\mid B) e P(D^{c})=1-P(D).

Passo 3

Calcular P(D) passo a passo (parte (a)).
  • Calculo dos termos:
    • P(A)\,P(D\mid A)=0{,}1875\times0{,}06. Faço a multiplicação: 0{,}1875\times0{,}06=0{,}01125.
    • P(B)\,P(D\mid B)=0{,}0625\times0{,}04. Multiplicando: 0{,}0625\times0{,}04=0{,}0025.
    • P\text{(C)}\,P(D\mid C)=0{,}75\times0{,}08. Multiplicando: 0{,}75\times0{,}08=0{,}06.
  • Somando os três caminhos:
P(D)=0{,}01125+0{,}0025+0{,}06=0{,}07375.
  • Interpretação: a probabilidade de uma peça aleatória ser defeituosa é 0{,}07375, ou seja 7{,}375\%.

Passo 4

Calcular P(A\mid D) (parte (b)) com Bayes, mostrando simplificação racional.
  • Aplicando a fórmula:
P(A\mid D)=\frac{P(A)\,P(D\mid A)}{P(D)}=\frac{0{,}01125}{0{,}07375}.
  • É útil escrever em frações exatas para simplificar: 0{,}01125=\dfrac{9}{800} e 0{,}07375=\dfrac{59}{800}. Então
P(A\mid D)=\frac{9/800}{59/800}=\frac{9}{59}.
  • Valor numérico aproximado:
\frac{9}{59}\approx0{,}152542\ldots
ou seja aproximadamente 15{,}254\%.
  • Interpretação curta: entre todas as peças defeituosas, cerca de 15{,}25\% vieram da máquina A.

Passo 5

Calcular P(B\mid D^{c}) (parte (c)) com cuidado (complemento).
  • Primeiro obtenho P(D^{c}):
P(D^{c})=1-P(D)=1-0{,}07375=0{,}92625.
  • Calcular o numerador P(B)\,P(D^{c}\mid B):
P(D^{c}\mid B)=1-P(D\mid B)=1-0{,}04=0{,}96,
P(B)\,P(D^{c}\mid B)=0{,}0625\times0{,}96=0{,}06.
  • Agora aplicar Bayes para o complementar:
P(B\mid D^{c})=\frac{0{,}06}{0{,}92625}.
  • Simplificando em frações: 0{,}06=\dfrac{48}{800} e 0{,}92625=\dfrac{741}{800}, então
P(B\mid D^{c})=\frac{48/800}{741/800}=\frac{48}{741}=\frac{16}{247}.
  • Valor numérico aproximado:
\frac{16}{247}\approx0{,}06478\ldots
ou seja aproximadamente 6{,}478\%.
  • Interpretação: entre todas as peças não defeituosas, cerca de 6{,}48\% vieram da máquina B.

Passo 6

Resumo interpretativo rápido (para a prova): a técnica central foi usar a regra da probabilidade total para (a) e o Teorema de Bayes para (b) e (c). Ao fazer contas com percentuais, converte sempre para números decimais (ou frações) e, quando possível, procure simplificar em frações exatas para evitar erro de arredondamento — como fizemos com 9/59 e 16/247. Vai dar certo, força aí!

Resposta

(a) P(D)=0{,}07375=7{,}375\%
(b) P(A\mid D)=\dfrac{9}{59}\approx0{,}15254=15{,}254\%
(c) P(B\mid D^{c})=\dfrac{16}{247}\approx0{,}06478=6{,}478\%

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