O consumo de combustível de um certo automóvel é uma variável aleatória, medida em quilômetros por litro. Admita que a densidade de probabilidade dessa variável é expressa pela seguinte função: ( 4,0 pontos)
(a) Determine a Média e a variância do consumo.
(b) Utilizando a) Determine: P(|x-\mu| \leq 2 \sigma)
Passo 1
Vou primeiro organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
A densidade de probabilidade é dada por
f(x)=\begin{cases} x-10, & 10 \le x \le 11,\\[4pt] 12-x, & 11 < x \le 12,\\[4pt] 0, & \text{c.c.} \end{cases}
O que é pedido:
(a) determinar a média (esperança) e a variância do consumo (em km/l);
(b) usando o item (a), calcular P(|x-\mu|\le 2\sigma), onde \mu é a média e \sigma o desvio padrão.
Observação importante (sem resolver ainda): a variável só toma valores no intervalo [10,12] e a densidade é uma “distribuição triangular” com pico em x=11. Isso costuma tornar a conta simpática porque há simetria em torno de 11.]
Passo 2
Relembrando as fórmulas que vamos usar (com explicação do significado das letras):
A média (esperança) de uma variável contínua X com densidade f é
Cálculo explícito da probabilidade. Uso a simetria do problema (pois f(11+t)=f(11-t)), então a probabilidade é duas vezes a integral do lado direito ou esquerdo até o deslocamento d=\dfrac{2}{\sqrt{6}}.
Mas é ainda mais simples integrar no ramo à esquerda tomando y=x-10: para x\in[11-d,11] tem-se f(x)=x-10 e mudando de variável y=x-10 (então y vai de 1-d a 1) obtemos: