O consumo de combustível de um certo automóvel é uma variável aleatória, medida em quilômetros por litro. Admita que a densidade de probabilidade dessa variável é expressa pela seguinte função: ( 4,0 pontos)
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} x-10, & 10 \leq x \leq 11 \\\\ 12-x, & 11<x \leq 12 \\\\ 0 & \text { c.c } \end{array}\right.
(a) Determine a Média e a variância do consumo.
(b) Utilizando a) Determine: P(|x-\mu| \leq 2 \sigma)

Passo 1

Vou primeiro organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A densidade de probabilidade é dada por
f(x)=\begin{cases} x-10, & 10 \le x \le 11,\\[4pt] 12-x, & 11 < x \le 12,\\[4pt] 0, & \text{c.c.} \end{cases}
  • O que é pedido:
    • (a) determinar a média (esperança) e a variância do consumo (em km/l);
    • (b) usando o item (a), calcular P(|x-\mu|\le 2\sigma), onde \mu é a média e \sigma o desvio padrão.
Observação importante (sem resolver ainda): a variável só toma valores no intervalo [10,12] e a densidade é uma “distribuição triangular” com pico em x=11. Isso costuma tornar a conta simpática porque há simetria em torno de 11.]

Passo 2

Relembrando as fórmulas que vamos usar (com explicação do significado das letras):
  • A média (esperança) de uma variável contínua X com densidade f é
\mu=\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Aqui a integral reduz-se ao suporte [10,12].
  • A segunda momenta é
\mathbb{E}[X^2]=\int_{-\infty}^{\infty} x^2\,f(x)\,dx.
  • A variância é
\mathrm{Var}(X)=\sigma^2=\mathbb{E}[X^2]-\big(\mathbb{E}[X]\big)^2,
ou seja, soma o “quadrado médio” e subtrai o quadrado da média.
Vou aplicar essas fórmulas dividindo as integrais conforme os dois ramos da densidade ( 10 a 11 e 11 a 12).

Passo 3

Cálculo da média \mu=\mathbb{E}[X].
Escrevo a integral em duas partes:
\mu=\int_{10}^{11} x(x-10)\,dx \;+\; \int_{11}^{12} x(12-x)\,dx.
Vou calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
\int_{10}^{11} x(x-10)\,dx = \int_{10}^{11} (x^2-10x)\,dx = \left[\frac{x^3}{3}-5x^2\right]_{10}^{11}.
Avalio em x=11 e x=10:
\left(\frac{11^3}{3}-5\cdot11^2\right)-\left(\frac{10^3}{3}-5\cdot10^2\right) = \frac{1331}{3}-605-\left(\frac{1000}{3}-500\right).
Colocando em comum denominador:
= \frac{1331-1815}{3}-\frac{1000-1500}{3} = -\frac{484}{3} -\left(-\frac{500}{3}\right) = \frac{16}{3}.
Segunda integral:
\int_{11}^{12} x(12-x)\,dx = \int_{11}^{12} (12x-x^2)\,dx = \left[6x^2-\frac{x^3}{3}\right]_{11}^{12}.
Avalio:
\left(6\cdot12^2-\frac{12^3}{3}\right)-\left(6\cdot11^2-\frac{11^3}{3}\right) = 288 - \frac{847}{3} = \frac{17}{3}.
Somando as duas partes:
\mu = \frac{16}{3} + \frac{17}{3} = \frac{33}{3} = 11.
Interpretação rápida (motivacional): a média é \mu=11. Faz sentido porque a densidade é simétrica em torno de 11.

Passo 4

Cálculo de \mathbb{E}[X^2], necessário para a variância.
Escrevo:
\mathbb{E}[X^2]=\int_{10}^{11} x^2(x-10)\,dx \;+\; \int_{11}^{12} x^2(12-x)\,dx.
Primeira integral:
\int_{10}^{11} (x^3-10x^2)\,dx = \left[\frac{x^4}{4}-\frac{10}{3}x^3\right]_{10}^{11}.
Avalio em 11 e 10:
\left(\frac{11^4}{4}-\frac{10}{3}11^3\right)-\left(\frac{10^4}{4}-\frac{10}{3}10^3\right).
Fazendo as contas com frações dá
\text{primeira parte}=\frac{683}{12}.
Segunda integral:
\int_{11}^{12} (12x^2-x^3)\,dx = \left[4x^3-\frac{x^4}{4}\right]_{11}^{12}.
Avaliação fornece
\text{segunda parte}=\frac{257}{4}.
Somando:
\mathbb{E}[X^2]=\frac{683}{12}+\frac{257}{4}=\frac{683}{12}+\frac{771}{12}=\frac{1454}{12}=\frac{727}{6}.

Passo 5

Cálculo da variância \sigma^2 e do desvio padrão \sigma.
Usando
\sigma^2=\mathbb{E}[X^2]-\mu^2,
substituo os valores:
\sigma^2=\frac{727}{6}-11^2=\frac{727}{6}-121=\frac{727-726}{6}=\frac{1}{6}.
Portanto
\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{1}{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}\approx 0,408248.
Pequena comemoração: a variância é \tfrac{1}{6} — número simples vindo da simetria triangular.

Passo 6

Agora calculo P(|X-\mu|\le 2\sigma). Primeiro escrevo os endpoints do intervalo:
Como \mu=11 e \sigma=\dfrac{1}{\sqrt{6}},
2\sigma=\frac{2}{\sqrt{6}}.
O intervalo é
\left[\,11-\frac{2}{\sqrt{6}}\,,\;11+\frac{2}{\sqrt{6}}\,\right].
Numericamente:
11-\frac{2}{\sqrt{6}}\approx 10,183503\quad\text{e}\quad 11+\frac{2}{\sqrt{6}}\approx 11,816497.
Esse intervalo fica inteiramente dentro do suporte [10,12], então
P(|X-\mu|\le 2\sigma)=\int_{\,11-\frac{2}{\sqrt{6}}}^{\,11+\frac{2}{\sqrt{6}}} f(x)\,dx.

Passo 7

Cálculo explícito da probabilidade. Uso a simetria do problema (pois f(11+t)=f(11-t)), então a probabilidade é duas vezes a integral do lado direito ou esquerdo até o deslocamento d=\dfrac{2}{\sqrt{6}}.
Defino d=\dfrac{2}{\sqrt{6}}. Então
P(|X-\mu|\le 2\sigma)=2\int_{11}^{11+d} (12-x)\,dx.
Mas é ainda mais simples integrar no ramo à esquerda tomando y=x-10: para x\in[11-d,11] tem-se f(x)=x-10 e mudando de variável y=x-10 (então y vai de 1-d a 1) obtemos:
\int_{11-d}^{11} (x-10)\,dx=\int_{1-d}^{1} y\,dy = \left[\frac{y^2}{2}\right]_{1-d}^{1} = \frac{1-(1-d)^2}{2} = d-\frac{d^2}{2}.
Pela simetria a integral à direita é igual, logo
P=2\left(d-\frac{d^2}{2}\right)=2d-d^2.
Substituo d^2=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} e d=\dfrac{2}{\sqrt{6}}, então
P=2\cdot\frac{2}{\sqrt{6}}-\frac{2}{3}=\frac{4}{\sqrt{6}}-\frac{2}{3}.
Valor numérico:
P\approx 0,96633\\ (\text{aproximadamente}).

Resposta

Média: \mu=11
Variância: \sigma^2=\dfrac{1}{6}
P(|x-\mu|\le 2\sigma)=\dfrac{4}{\sqrt{6}}-\dfrac{2}{3}\approx 0,96633

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