Em uma fábrica, ocorre uma média de 2 falhas por semana em uma máquina. Qual é a probabilidade de que ocorram 4 falhas em uma semana?
Passo 1
Então, o problema é o seguinte: numa fábrica, uma máquina apresenta em média 2 falhas por semana. Queremos descobrir qual a probabilidade de que essa máquina tenha exatamente 4 falhas em uma semana. Para resolver isso, vamos usar a distribuição de Poisson, que é ótima para calcular a probabilidade de eventos que acontecem de forma aleatória e independente em um intervalo fixo de tempo ou espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da distribuição de Poisson. A fórmula para calcular a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos em um intervalo é:
Onde:
- $ \lambda $ é a média de eventos por intervalo (neste caso, 2 falhas por semana).
- $ k $ é o número de eventos que queremos calcular a probabilidade (neste caso, 4 falhas).
- $ e $ é a constante de Euler, aproximadamente igual a 2,71828.
- $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
Vamos calcular passo a passo:
- Calcular $ e^{-2} $:
- Calcular $ 2^4 $:
- Calcular $ 4! $ (fatorial de 4):
Agora, substituindo esses valores na fórmula:
Resposta
A probabilidade de que ocorram exatamente 4 falhas em uma semana é de aproximadamente 9,02%.