Uma pesquisa indica que 30% das pessoas preferem chocolate amargo. Se 15 pessoas são selecionadas aleatoriamente, qual é a probabilidade de exatamente 5 preferirem chocolate amargo? Qual a probabilidade de mais de 2 preferirem amargo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade juntos! A gente tem que descobrir duas coisas: a probabilidade de exatamente 5 pessoas preferirem chocolate amargo e a probabilidade de mais de 2 pessoas preferirem esse tipo de chocolate. Vamos usar a distribuição binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas (no caso, 15 pessoas) e cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (preferir ou não preferir chocolate amargo).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula. Temos:
- n = 15 (número de pessoas selecionadas)
- p = 0.30 (probabilidade de uma pessoa preferir chocolate amargo)
- k será o número de pessoas que preferem amargo, que vai variar dependendo da pergunta.
Passo 3
A distribuição binomial é usada aqui porque estamos lidando com um número fixo de tentativas independentes, cada uma com a mesma probabilidade de sucesso. A fórmula para calcular a probabilidade de exatamente k sucessos em n tentativas é:
Onde
é o número de combinações de n elementos tomados k a k.
Passo 4
Vamos calcular a probabilidade de exatamente 5 pessoas preferirem chocolate amargo (k = 5):
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial:
Agora, aplicamos na fórmula:
Então, a probabilidade é de aproximadamente 20,5%.
Passo 5
Agora, vamos calcular a probabilidade de mais de 2 pessoas preferirem chocolate amargo, ou seja, P(X > 2).
Uma maneira mais fácil de calcular isso é usar o complemento:
Então, vamos calcular P(X ≤ 2), que é a soma das probabilidades de 0, 1 e 2 pessoas preferirem amargo.
Para k = 0:
Para k = 1:
Para k = 2:
Somando essas probabilidades:
Então, o complemento será:
Ou seja, aproximadamente 89,16%.
Resposta
A probabilidade de exatamente 5 pessoas preferirem chocolate amargo é de 20,5%. A probabilidade de mais de 2 pessoas preferirem amargo é de aproximadamente 89,16%.