Uma pesquisa indica que 30% das pessoas preferem chocolate amargo. Se 15 pessoas são selecionadas aleatoriamente, qual é a probabilidade de exatamente 5 preferirem chocolate amargo? Qual a probabilidade de mais de 2 preferirem amargo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade juntos! A gente tem que descobrir duas coisas: a probabilidade de exatamente 5 pessoas preferirem chocolate amargo e a probabilidade de mais de 2 pessoas preferirem esse tipo de chocolate. Vamos usar a distribuição binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas (no caso, 15 pessoas) e cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (preferir ou não preferir chocolate amargo).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula. Temos:
  • n = 15 (número de pessoas selecionadas)
  • p = 0.30 (probabilidade de uma pessoa preferir chocolate amargo)
  • k será o número de pessoas que preferem amargo, que vai variar dependendo da pergunta.

Passo 3

A distribuição binomial é usada aqui porque estamos lidando com um número fixo de tentativas independentes, cada uma com a mesma probabilidade de sucesso. A fórmula para calcular a probabilidade de exatamente k sucessos em n tentativas é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde binomnk é o número de combinações de n elementos tomados k a k.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de exatamente 5 pessoas preferirem chocolate amargo (k = 5):
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial:
binom155 = 15!5!(15-5)! = 3003
Agora, aplicamos na fórmula:
P(X = 5) = 3003 times (0.30)^5 times (0.70)^10
P(X = 5) approx 3003 times 0.00243 times 0.02825 approx 0.205
Então, a probabilidade é de aproximadamente 20,5%.

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de mais de 2 pessoas preferirem chocolate amargo, ou seja, P(X > 2).
Uma maneira mais fácil de calcular isso é usar o complemento:
P(X > 2) = 1 - P(X <= 2)
Então, vamos calcular P(X ≤ 2), que é a soma das probabilidades de 0, 1 e 2 pessoas preferirem amargo.
Para k = 0:
P(X = 0) = binom150 times (0.30)^0 times (0.70)^15 = 1 times 1 times 0.0047 approx 0.0047
Para k = 1:
P(X = 1) = binom151 times (0.30)^1 times (0.70)^14 = 15 times 0.30 times 0.0061 approx 0.0274
Para k = 2:
P(X = 2) = binom152 times (0.30)^2 times (0.70)^13 = 105 times 0.09 times 0.0081 approx 0.0763
Somando essas probabilidades:
P(X <= 2) approx 0.0047 + 0.0274 + 0.0763 = 0.1084
Então, o complemento será:
P(X > 2) = 1 - 0.1084 = 0.8916
Ou seja, aproximadamente 89,16%.

Resposta

A probabilidade de exatamente 5 pessoas preferirem chocolate amargo é de 20,5%. A probabilidade de mais de 2 pessoas preferirem amargo é de aproximadamente 89,16%.

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