Uma fábrica de papel usa um gráfico de controle para monitorar imperfeições nos rolos de papel produzidos. Amostra da produção, contendo 20 rolos, foram inspecionados por 10 dias, e os dados obtidos constam na tabela abaixo. A partir dos dados estabeleça uma gráfico de controle para o número médio de nãoconformidades por rolo.
Amostras 1^{\mathrm{a}} 2^{\mathrm{a}} 3^{\mathrm{a}} 4^{\mathrm{a}} 5^{\mathrm{a}} 6^{\mathrm{a}} 7^{\mathrm{a}} 8^{\mathrm{a}} 9^{\mathrm{a}} 10^{\mathrm{a}}
\mathrm{N}^{\mathrm{o}} de imperfeições 11 10 13 11 9 7 15 13 18 17
a) Determine os valores das ordenadas dos pontos a serem plotados no gráfico de controle.
Amostras 1^{\mathrm{a}} 2^{\mathrm{a}} 3^{\mathrm{a}} 4^{\mathrm{a}} 5^{\mathrm{a}} 6^{\mathrm{a}} 7^{\mathrm{a}} 8^{\mathrm{a}} 9^{\mathrm{a}} 10^{\mathrm{a}}
b) Obtenha os limites de controle 3 \sigma para o gráfico do número médio de não-conformidades por item.
c) Você diria que o processo se encontra sob controle estatístico? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra diária de 20 rolos coletada por 10 dias e o número total de imperfeições (não-conformidades) em cada amostra. Os dados são (peguei estes valores do enunciado):
  • Amostras 1^{\mathrm{a}} a 10^{\mathrm{a}}: número de imperfeições =11,\;10,\;13,\;11,\;9,\;7,\;15,\;13,\;18,\;17.
O que o enunciado pede:
a) Determinar as ordenadas dos pontos a serem plotados no gráfico de controle do número médio de não-conformidades por rolo (ou seja, calcular o número médio de defeitos por item em cada amostra).
b) Obter os limites de controle 3\sigma para esse gráfico.
c) Dizer se o processo está sob controle estatístico, com justificativa.

Passo 2

Escolhemos trabalhar com o gráfico u (número de não-conformidades por unidade), que é apropriado quando medimos defeitos (não-conformidades) em amostras de unidades e queremos a taxa média por unidade. Vou explicar as fórmulas que usaremos:
  • Para cada amostra i (aqui i=1,\dots,10) definimos
u_i=\frac{\text{número de imperfeições na amostra }i}{n},úçõ
onde n é o número de unidades por amostra (aqui n=20). Explicando: u_i é a média de defeitos por rolo naquela amostra — pegue o total de defeitos naquela amostra e divida pelo número de rolos inspecionados.
  • A estimativa da taxa média por unidade (a linha central do gráfico) é
\bar{u}=\frac{\sum_{i=1}^{k} (\text{defeitos na amostra }i)}{k\,n},
onde k é o número de amostras (aqui k=10). Em palavras: soma todos os defeitos de todas as amostras e divide pelo total de unidades inspecionadas.
  • A variabilidade padrão de u para amostras com tamanho n é estimada por
\sigma_u=\sqrt{\frac{\bar{u}}{n}}.
Isto vem da suposição de que o número de defeitos segue uma distribuição de Poisson por unidade (ou que a variância por unidade é aproximadamente \bar{u}).
  • Os limites de controle 3\sigma são
\text{UCL}=\bar{u}+3\sigma_u,\qquad \text{LCL}=\bar{u}-3\sigma_u,
com a restrição prática \text{LCL}\ge 0 (não faz sentido limite negativo para taxa de defeitos).
Agora vamos aplicar essas fórmulas passo a passo com os dados.

Passo 3

Calcular os valores de u_i (ordenadas dos pontos) para cada amostra: dividir cada número de imperfeições por n=20.
\begin{aligned} u_1&=\frac{11}{20}=0,55,\\[4pt] u_2&=\frac{10}{20}=0,50,\\[4pt] u_3&=\frac{13}{20}=0,65,\\[4pt] u_4&=\frac{11}{20}=0,55,\\[4pt] u_5&=\frac{9}{20}=0,45,\\[4pt] u_6&=\frac{7}{20}=0,35,\\[4pt] u_7&=\frac{15}{20}=0,75,\\[4pt] u_8&=\frac{13}{20}=0,65,\\[4pt] u_9&=\frac{18}{20}=0,90,\\[4pt] u_{10}&=\frac{17}{20}=0,85. \end{aligned}
Esses são os pontos que serão plotados (ordenadas) no gráfico u.]

Passo 4

Calcular a linha central \bar{u}.
Primeiro somar todos os defeitos (peguei os totais da tabela): \sum \text{defeitos}=11+10+13+11+9+7+15+13+18+17=124.
Total de unidades inspecionadas =k\cdot n=10\cdot20=200. Portanto
\bar{u}=\frac{124}{200}=0,62.
Em palavras: em média houve 0,62 defeito por rolo nas amostras estudadas.

Passo 5

Calcular o desvio padrão estimado de u:
\sigma_u=\sqrt{\frac{\bar{u}}{n}}=\sqrt{\frac{0,62}{20}}=\sqrt{0,031}\approx 0,176.
Expliquei: primeiro divide-se a média por unidade pelo tamanho da amostra e depois se tira a raiz, porque variância da média de Poisson por unidade escala com 1/n.

Passo 6

Calcular os limites de controle 3\sigma:
3\sigma_u\approx 3\times 0,176\approx 0,528.
\text{UCL}=\bar{u}+3\sigma_u\approx 0,62+0,528=1,148.
\text{LCL}=\bar{u}-3\sigma_u\approx 0,62-0,528=0,092.
Como \text{LCL}>0, não é necessário ajustar para zero. Portanto os limites numéricos (aproximados) são \text{LCL}\approx 0,092 e \text{UCL}\approx 1,148.

Passo 7

Verificar se o processo está sob controle estatístico.
Regra prática básica: se todos os pontos u_i estiverem entre \text{LCL} e \text{UCL} e não houver padrões não-aleatórios fortes (por exemplo muitos pontos consecutivos acima ou abaixo da linha central, tendências contínuas, pontos que formam ciclos óbvios), então o processo pode ser considerado em controle estatístico.
  • Testando os pontos calculados (peguei os u_i do Passo 3):
0,55,\;0,50,\;0,65,\;0,55,\;0,45,\;0,35,\;0,75,\;0,65,\;0,90,\;0,85.
Todos esses valores estão entre 0,092 e 1,148. Logo não há pontos fora dos limites de controle 3\sigma.
  • Sobre padrões: nota-se variação natural (vai pra baixo e depois sobe), mas não há um padrão extremo como 8 ou mais pontos consecutivos de um mesmo lado da média (regra de Western Electric típica) nem uma tendência contínua clara ao longo das 10 amostras que indicasse um deslocamento permanente. Há cinco pontos consecutivos acima da média nas amostras 7–10, o que merece atenção e poderia ser investigado, mas isoladamente (com as regras clássicas) não constitui violação dos limites 3\sigma.
Conclusão interpretativa: não existem pontos fora dos limites 3\sigma; portanto, pelo critério dos limites de controle clássicos, o processo pode ser considerado sob controle estatístico. Recomenda-se, no entanto, monitorar o trecho final com pontos consecutivos acima da média e, se desejado, aplicar regras de detecção adicionais (runs, tendência) para maior sensibilidade.

Resposta

a) Valores u_i a plotar (defeitos por rolo):
0,55,\;0,50,\;0,65,\;0,55,\;0,45,\;0,35,\;0,75,\;0,65,\;0,90,\;0,85.
b) Linha central e limites 3\sigma:
\bar{u}=0,62;\ \text{LCL}\approx 0,092;\ \text{UCL}\approx 1,148.
c) O processo está, a princípio, sob controle estatístico: todos os pontos ficam entre \text{LCL} e \text{UCL}; não há pontos fora dos limites. (Observação: há cinco pontos consecutivos acima da média nas últimas amostras, que merecem atenção/investigação adicional.)

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