Implementou-se um controle estatístico de processos para monitorar a quantidade ( X ) de cereal, em gramas, que cada uma das máquinas, A e B , depositam nas embalagens. Para os dois processos, A e B , foram obtidas as informações que constam no quadro a seguir. Em ambos, foram inspecionadas amostras de tamanho 4 .
Processo A Processo B
\overline{\bar{x}}_{A}=200 \overline{\bar{x}}_{B}=200
\bar{R}_{A}=9.78 \bar{R}_{B}=12.87
Suponha que a distribuição normal modele satisfatoriamente a variável X e que as especificações do processo de produção são 200 \pm 15.
a) Com base nos dados do processo B, obtenha uma estimativa para o desvio padrão \sigma_{B}.
b) Para cada processo, determine estimativas para razão de capacidade C_{p}. Assim como, para o número real P=\frac{1}{C_{p}} \times 100.
c) Dê uma interpretação correta para os resultados obtidos no item (b). E, ao comparar as estimativas de P_{A} e P_{B}, faça um comentário pertinente.
d) Baseando-se nas conclusões obtidas nos (b) e (c), qual processo requer mais atenção? Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas principais:
  • (a) a estimativa do desvio-padrão \sigma_{B} do processo B;
  • (b) para cada processo (A e B) estimativas da razão de capacidade C_{p} e do número real P=\dfrac{1}{C_{p}}\times100;
  • (c) interpretar corretamente os resultados de (b) e comparar P_{A} e P_{B};
  • (d) decidir qual processo requer mais atenção e justificar.
Informações dadas (pegar estes dados do enunciado):
  • Tamanho da amostra: n=4.
  • Processo A: \overline{\bar{x}}_{A}=200 e \bar{R}_{A}=9,78.
  • Processo B: \overline{\bar{x}}_{B}=200 e \bar{R}_{B}=12,87.
  • Especificações: alvo =200, tolerância \pm15. Logo:
    • \text{LSL}=200-15=185,
    • \text{USL}=200+15=215,
    • largura da especificação \text{USL}-\text{LSL}=30.

Passo 2

Como estimar \sigma a partir da média das amplitudes \bar{R}: existe uma constante d_{2} (tabela de fatores para gráficos de controle) que relaciona a amplitude média com o desvio-padrão verdadeiro pela fórmula
\hat{\sigma}=\frac{\bar{R}}{d_{2}}.
Explicando: \bar{R} é a média das amplitudes das subamostras; d_{2} é um fator que depende apenas do tamanho da subamostra n e é obtido em tabelas (é uma constante conhecida usada em controle estatístico de processo). Para n=4 a tabela dá d_{2}=2{,}059.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao processo B:
\hat{\sigma}_{B}=\frac{\bar{R}_{B}}{d_{2}}=\frac{12{,}87}{2{,}059}.
Fazendo a conta:
\frac{12{,}87}{2{,}059}\approx 6{,}25\\ \text{(gramas)}.
Portanto a estimativa para o desvio-padrão do processo B é \hat{\sigma}_{B}\approx 6{,}25\\ \text{g}.

Passo 4

Vamos também calcular \hat{\sigma}_{A} (precisaremos dele em (b)):
\hat{\sigma}_{A}=\frac{\bar{R}_{A}}{d_{2}}=\frac{9{,}78}{2{,}059}\approx 4{,}75\\ \text{g}.
Resumo das estimativas de desvio-padrão:
\hat{\sigma}_{A}\approx 4{,}75\\ \text{g},\qquad \hat{\sigma}_{B}\approx 6{,}25\\ \text{g}.

Passo 5

Definição e interpretação de C_{p}: C_{p} mede a capacidade potencial do processo em termos de espalhamento (não considera centralização). A fórmula é
C_{p}=\frac{\text{USL}-\text{LSL}}{6\,\sigma}.
Aqui \text{USL}-\text{LSL}=30 e o fator 6\sigma representa a largura total de \pm3\sigma (três desvios-padrão para cada lado), que cobre a maior parte da variabilidade para uma distribuição normal. Quanto maior C_{p}, menor a dispersão relativa às especificações.

Passo 6

Cálculo de C_{p} para cada processo. Como \text{USL}-\text{LSL}=30, podemos simplificar:
C_{p}=\frac{30}{6\sigma}=\frac{5}{\sigma}.
Aplicando para A:
C_{p,A}=\frac{5}{\hat{\sigma}_{A}}=\frac{5}{4{,}75}\approx 1{,}053.
Aplicando para B:
C_{p,B}=\frac{5}{\hat{\sigma}_{B}}=\frac{5}{6{,}25}=0{,}8.

Passo 7

Definição e cálculo de P: o enunciado define
P=\frac{1}{C_{p}}\times100.
Isto é apenas o inverso de C_{p} multiplicado por 100 — serve aqui como medida escalada que aumenta quando a capacidade diminui. Calculando:
P_{A}=\frac{1}{C_{p,A}}\times100=\frac{1}{1{,}053}\times100\approx 95, P_{B}=\frac{1}{C_{p,B}}\times100=\frac{1}{0{,}8}\times100=125.

Passo 8

Interpretação dos resultados (parte (c)):
  • O valor de C_{p,A}\approx1{,}053>1 indica que o processo A tem dispersão levemente menor do que a largura de especificação: a variação do processo cabe dentro das tolerâncias com folga pequena. Em teoria, se o processo estiver perfeitamente centrado, C_{p}>1 significa que a maioria das peças estará dentro das especificações.
  • O valor de C_{p,B}=0{,}8<1 indica que o processo B tem dispersão maior do que a largura de especificação; ou seja, a variabilidade é grande demais e parte considerável da produção ficará fora dos limites de especificação.
  • Observação importante: ambos os processos têm média informada igual a 200 (o alvo), então estão centrados no alvo; assim, a medida C_{p} aqui é representativa da capacidade real (não precisamos ajustar por deslocamento). Em outras palavras, como \overline{\bar{x}}_{A}=\overline{\bar{x}}_{B}=200 e as especificações são simétricas, C_{p} aproxima bem a capacidade real.
  • Sobre P: é uma medida inversa escalada; P maior significa pior capacidade. Então P_{B}=125 (pior) contra P_{A}\approx95 (melhor).

Passo 9

Comparação entre P_{A} e P_{B} e conclusão (parte (d)):
  • P_{A}\approx95 e P_{B}=125 mostram claramente que o processo B é pior em termos de capacidade (maior P = menor C_{p}).
  • Conclusão prática: o processo que requer mais atenção é o processo B. Justificativa: C_{p,B}=0{,}8<1 indica que a variabilidade do processo B é demasiado alta frente à largura de especificação; mesmo estando centrado, a dispersão fará com que uma parcela significativa das embalagens fique fora da faixa 185 215. Portanto deve-se investigar e reduzir a variabilidade do processo B (ajustes de máquina, fontes de ruído, manutenção, etc.). O processo A está razoavelmente capaz ( C_{p,A}\approx1{,}053), exigindo menos atenção imediata, embora sempre seja desejável reduzir ainda mais a variação.

Resposta

(a) \hat{\sigma}_{B}\approx 6{,}25\\ \text{g}
(b) C_{p,A}\approx 1{,}053,\quad C_{p,B}=0{,}8
P_{A}\approx 95,\quad P_{B}=125
(c) C_{p,A}>1 indica capacidade aceitável (dispersão pequena frente à especificação); C_{p,B}<1 indica dispersão maior que a especificação (processo insuficientemente capaz). Como ambas as médias são 200, C_{p} reflete bem a capacidade real. P é o inverso escalado de C_{p}: P_{B} maior significa pior capacidade que P_{A}.
(d) O processo que requer mais atenção é o processo B, pois sua variabilidade é alta ( \hat{\sigma}_{B}\approx6{,}25\\ \text{g}) levando a C_{p,B}=0{,}8<1; é preciso reduzir a variabilidade do processo B.

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