Uma fábrica de parafusos possui um processo automatizado de inspeção de qualidade. Sabe-se que, em média, 5 \% dos parafusos produzidos são defeituosos. Os parafusos são inspecionados um a um, de forma sequencial, até que se encontre o primeiro parafuso com defeito. Considere a variável aleatória X, que representa o número de parafusos inspecionados até encontrar o primeiro com defeito (inclusive o defeituoso). Suponha que a ocorrência de defeito em cada peça seja independente e com probabilidade constante
a) Modele a variável X com uma distribuição de probabilidade apropriada e justifique sua escolha.
b) Qual é a probabilidade de que o primeiro parafuso com defeito seja encontrado:
  • na primeira inspeção?
  • após o quinto parafuso?
    c) Qual é o número esperado de parafusos que serão inspecionados até que se encontre o primeiro com defeito?
    d) Qual é a variância do número de inspeções até encontrar o primeiro parafuso defeituoso?

Passo 1

O enunciado diz que cada parafuso, de forma independente, tem probabilidade constante de ser defeituoso 5\% e que inspecionamos até encontrar o primeiro defeituoso. Isso é exatamente o cenário de ensaio de Bernoulli repetido até o primeiro “sucesso”, ou seja, distribuição geométrica. Vamos usar as fórmulas de probabilidade, valor esperado e variância dessa distribuição.

Passo 2

Modelamos X como uma variável aleatória com distribuição geométrica de parâmetro p=0,05, em que “sucesso” é “parafuso defeituoso”. A função massa de probabilidade (pmf) é
P(X = k) = (1 - p)^{\,k-1}\,p,\quad k = 1,2,3,\dots
Porque devemos ter k-1 inspecções sem defeito \bigl((1-p)^{k-1}\bigr) e então um defeito na k-ésima peça \bigl(p\bigr).

Passo 3

Para a primeira inspeção k=1:
P(X=1) = (1 - 0,05)^{\,0}\times 0,05 = 0,05.

Passo 4

Para a probabilidade de o primeiro defeito aparecer após o quinto parafuso significa X>5. Como
P(X>5) = 1 - P(X\le5)
e
P(X\le5) = \sum_{k=1}^{5}(1-0,05)^{\,k-1}0,05 = 1 - (1-0,05)^5,
temos
P(X>5) = (1 - 0,05)^5 = 0,95^5.

Passo 5

O valor esperado da geométrica é
E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{0,05} = 20.
Ou seja, em média inspecionamos 20 parafusos até achar o primeiro defeituoso.

Passo 6

A variância da geométrica é
\mathrm{Var}(X) = \frac{1 - p}{p^2} = \frac{0,95}{(0,05)^2} = \frac{0,95}{0,0025} = 380.

Resposta

a) X\sim\mathrm{Geom}(p=0,05), pois descreve o número de ensaios até o primeiro sucesso em Bernoulli.
b1) P(X=1)=0,05.
b2) P(X>5)=0,95^5.
c) E[X]=20.
d) \mathrm{Var}(X)=380.

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