Uma fábrica de parafusos possui um processo automatizado de inspeção de qualidade. Sabe-se que, em média,
dos parafusos produzidos são defeituosos. Os parafusos são inspecionados um a um, de forma sequencial, até que se encontre o primeiro parafuso com defeito. Considere a variável aleatória
, que representa o número de parafusos inspecionados até encontrar o primeiro com defeito (inclusive o defeituoso). Suponha que a ocorrência de defeito em cada peça seja independente e com probabilidade constante
a) Modele a variável
com uma distribuição de probabilidade apropriada e justifique sua escolha.
b) Qual é a probabilidade de que o primeiro parafuso com defeito seja encontrado:
- na primeira inspeção?
- após o quinto parafuso?
c) Qual é o número esperado de parafusos que serão inspecionados até que se encontre o primeiro com defeito?
d) Qual é a variância do número de inspeções até encontrar o primeiro parafuso defeituoso?
a) Modele a variável
b) Qual é a probabilidade de que o primeiro parafuso com defeito seja encontrado:
c) Qual é o número esperado de parafusos que serão inspecionados até que se encontre o primeiro com defeito?
d) Qual é a variância do número de inspeções até encontrar o primeiro parafuso defeituoso?
Passo 1
O enunciado diz que cada parafuso, de forma independente, tem probabilidade constante de ser defeituoso
e que inspecionamos até encontrar o primeiro defeituoso. Isso é exatamente o cenário de ensaio de Bernoulli repetido até o primeiro “sucesso”, ou seja, distribuição geométrica. Vamos usar as fórmulas de probabilidade, valor esperado e variância dessa distribuição.
Passo 2
Modelamos
como uma variável aleatória com distribuição geométrica de parâmetro
, em que “sucesso” é “parafuso defeituoso”. A função massa de probabilidade (pmf) é
Porque devemos ter
inspecções sem defeito
e então um defeito na
-ésima peça
.
Passo 3
Para a primeira inspeção
:
Passo 4
Para a probabilidade de o primeiro defeito aparecer após o quinto parafuso significa
. Como
e
temos
Passo 5
O valor esperado da geométrica é
Ou seja, em média inspecionamos
parafusos até achar o primeiro defeituoso.
Passo 6
A variância da geométrica é
Resposta
a)
, pois descreve o número de ensaios até o primeiro sucesso em Bernoulli.
b1) .
b2) .
c) .
d) .
b1)
b2)
c)
d)