Uma fábrica de pneus verificou que ao testar seus pneus na pista, havia em média um estouro de pneu a cada 5000 km .
Qual a probabilidade que num teste de 3000 km haja no máximo um pneu estourado?

Passo 1

Beleza, olha só o que a gente tem: uma fábrica percebeu que, em média, estoura um pneu a cada 5000 km. A questão é: qual a probabilidade de, num teste de 3000 km, estourar no máximo um pneu?
Conteúdo: vamos usar a distribuição de Poisson, que serve pra modelar eventos raros num intervalo (aqui, km). O que precisamos:
  1. Calcular o parâmetro médio λ (quantos estouros esperamos em 3000 km).
  2. Usar a fórmula da Poisson pra achar P(X≤1).

Passo 2

Primeiro, calcula λ. Como em 5000 km ocorre, em média, 1 estouro, em 1 km ocorre 1/5000 estouros. Logo, em 3000 km a média é
lambda = 3000 times 15000 = 0,6
Isso significa que a gente espera, em média, 0,6 estouros nesse teste.

Passo 3

Na distribuição de Poisson, a probabilidade de ter exatamente k eventos é
P(X = k) = lambda^k e^-lambdak!
Como a pergunta pede “no máximo um pneu”, a gente quer
P(X <= 1) = P(X=0) + P(X=1)
Vamos calcular cada uma:
  • Para k=0: P(X=0) = lambda^0 e^-lambda0! = e^-lambda
    - Para k=1:
    P(X=1) = lambda^1 e^-lambda1! = lambda,e^-lambda

Passo 4

Substituindo λ=0,6:
P(X<=1) = e^-0,6 + 0,6,e^-0,6 = e^-0,6(1 + 0,6) = 1,6,e^-0,6
Agora, e^-0,6approx0,5488, então
P(X<=1) approx 1,6 times 0,5488 approx 0,8781

Resposta

A probabilidade de estourar no máximo um pneu em 3000 km é aproximadamente 0,8781, (ou 87,81%).

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