Suponha que há em média 2 suicídios por ano numa população de 50000 pessoas. Em uma cidade de 100000 habitantes, encontre a probabilidade de em um dado ano ter havido mais suicídios do que a média anual para uma população de 50000 pessoas?

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é: a gente sabe que em média ocorrem 2 suicídios por ano numa população de 50 000 pessoas. Agora temos uma cidade com 100 000 habitantes e queremos saber qual a chance de, num ano qualquer, ela ter “mais suicídios” do que essa média de 2.
Conteúdo: vamos usar a distribuição de Poisson (porque conta eventos raros em certo intervalo/população) e escala proporcional de média.

Passo 2

Antes de partir pro cálculo, revisa a Poisson rapidinho:
  • Se P(X=k) ;=; e^-lambda,lambda^kk!(k=0,1,2,dots) ~ Poisson( ), então
  • A média de é exatamente .
    Aqui, é “número médio de eventos” no intervalo/população definidos.

Passo 3

Como nossa base de referência é 50 000 pessoas com média 2 suicídios, dobrando a população (100 000) a média também dobra. Logo
lambda100k = 2 times 100,00050,000 = 4
Ou seja, em 100 000 habitantes, esperamos em média 4 suicídios por ano.

Passo 4

Queremos P(X>2) ;=; 1 - P(X<=2) = 1 - l[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)r] quando P(X=k) = e^-4,4^kk! ~ Poisson(4), porque “mais suicídios do que 2”.
Cada termo é

Passo 5

Calculo P(X=0)=e^-44^00!=e^-4, P(X=1)=e^-44^11!=4e^-4, P(X=2)=e^-44^22!=8e^-4 :
P(X<=2) = e^-4(1+4+8) = 13,e^-4
Somando dá
P(X>2) = 1 - 13,e^-4approx 1 - 13cdot0,0183 approx 0,7619
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Resposta

A probabilidade de ter mais de 2 suicídios na cidade de 100 000 habitantes em um ano é
P(X>2) = 1 - 13,e^-4 approx 0,7619; (ou 76,19%)

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