Suponha que 300 erros de impressão sejam distribuídos aleatoriamente em um livro de 500 páginas. Encontre a probabilidade de uma dada página conter mais de 2 erros.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos 300 erros jogados aleatoriamente em um livro de 500 páginas e queremos achar a chance de uma página específica ter mais de 2 erros.
Conteúdo: distribuição Binomial e aproximação por Poisson.
O que a gente vai precisar:
  • Definir a variável aleatória (dizendo quantos erros caem numa página).
  • Ver que é grande e é pequeno, então a gente usa Poisson com .
  • Calcular a partir da fórmula de Poisson.

Passo 2

Definindo a variável aleatória: seja X sim Binomial(n=300,p=tfrac1500) o número de erros numa página.
Se cada erro tem probabilidade lambda = n p = 300 times tfrac1500 = 0.6 de cair nessa página, então inicialmente
Mas como é grande e é pequeno, podemos aproximar por Poisson com

Passo 3

Na aproximação de Poisson, valem as fórmulas
P(X=k) = e^-lambda,lambda^kk!
A gente quer P(X>2) ;=; 1 - l[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)r] , que é

Passo 4

Calculando cada termo com P(X=0) = e^-0.6,0.6^00! = e^-0.6, :
P(X=1) = e^-0.6,0.6^11! = 0.6,e^-0.6,
P(X=2) = e^-0.6,0.6^22! = 0.362,e^-0.6 = 0.18,e^-0.6
P(X<=2) = e^-0.6l(1 + 0.6 + 0.18r) = e^-0.6times1.78
Somando:
P(X<=2)approx0.5488times1.78approx0.9769
Como P(X>2) = 1 - 0.9769 approx 0.0231 ,
Portanto

Resposta

A probabilidade de uma página ter mais de 2 erros é aproximadamente (ou 2,31%).

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