Com os operários qualificados trabalhando x horase os não-qualificados, trabalhando y horas, o Empresário da questão anterior, pode produzir f(x, y)=10 x \sqrt{y} unidades. Atualmente, o Empresário gasta 30 horas em trabalho qualificado e 36 horas em trabalho não-qualificado, e pretende gastar 1 hora adicional em trabalho qualificado. Determine a variação correspondente no nível do trabalho não-qualificado para que a produção total permaneça inalterável.

Passo 1

O enunciado dá a função de produção
f(x,y) = 10\,x\sqrt{y}
onde x são horas de trabalho qualificado e y são horas de trabalho não-qualificado. Atualmente x=30 e y=36, e o empresário quer aumentar \Delta x=1 mantendo f constante. Precisamos encontrar o \Delta y correspondente tal que f(x+\Delta x,y+\Delta y)=f(x,y).

Passo 2

Para modelar pequenas variações, usamos a diferencial total
\mathrm{d}f = f_x\,\mathrm{d}x + f_y\,\mathrm{d}y,
onde
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(10\,x\sqrt{y}\bigr) =10\sqrt{y},
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(10\,x\sqrt{y}\bigr) =10\,x\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}} =\frac{5x}{\sqrt{y}}.

Passo 3

Como queremos manter a produção inalterada, impomos \mathrm{d}f=0. Assim
0 = f_x\,\mathrm{d}x + f_y\,\mathrm{d}y.

Passo 4

Substituindo x=30, y=36, \mathrm{d}x=1:
f_x = 10\sqrt{36}=10\cdot6=60, \quad f_y = \frac{5\cdot30}{6}=25.
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0 = 60\cdot1 + 25\,\mathrm{d}y \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{d}y = -\frac{60}{25} = -\frac{12}{5} = -2,4.

Passo 5

Isso significa que, para compensar 1 hora extra de trabalho qualificado sem alterar a produção, é preciso reduzir o trabalho não-qualificado em 2,4 horas.

Resposta

A variação em y deve ser \Delta y = -2,4 horas.

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