Empregando x operários qualificados e y operários não-qualificados, um Empresário fabricante pode produzir f(x, y)=x^{2} y unidades diariamente. Atualmente, existem na fábrica 18 operários qualificados e 32 não-qualificados, e o Empresário pretende contratar mais 1 operário qualificado. Use a questão anterios para determinar a variação correspondente no número de empregados não-qualificados para que a produção total do fabricante permaneça inalterada.

Passo 1

O enunciado dá a função de produção
f(x,y)=x^{2}y
onde x é o número de operários qualificados e y o de não-qualificados. Hoje temos x_{0}=18 e y_{0}=32, e vai haver um acréscimo \Delta x=1. Precisamos achar \Delta y tal que a produção não mude, isto é, f(x_{0}+\Delta x,\;y_{0}+\Delta y)\approx f(x_{0},y_{0}).

Passo 2

Para manter f constante usamos a aproximação linear (diferencial)
\mathrm{d}f=f_{x}\,\mathrm{d}x + f_{y}\,\mathrm{d}y=0.
Aqui
f_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y)=2xy, \qquad f_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2}.

Passo 3

Avaliaremos as derivadas em (x_{0},y_{0})=(18,32):
f_{x}(18,32)=2\cdot 18\cdot 32=1152, \qquad f_{y}(18,32)=18^{2}=324.
Então a condição \mathrm{d}f=0 fica
1152\cdot\Delta x \;+\;324\cdot\Delta y=0.

Passo 4

Substituindo \Delta x=1 e isolando \Delta y:
324\,\Delta y = -1152 \quad\Longrightarrow\quad \Delta y = -\frac{1152}{324} = -\frac{32}{9}\approx -3{,}56.

Resposta

A variação aproximada em y para manter a produção inalterada é
\Delta y = -\frac{32}{9}\approx -3{,}56,
ou seja, seria preciso reduzir cerca de 3,6 operários não-qualificados.

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