Óleo motor é aquecido ao escoar através de um tubo circular com diâmetro D=50[\mathrm{~mm}] e comprimento L=25[\mathrm{~m}], cuja superfície é mantida em 150\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right]. Se a vazão do escoamento e a temperatura na entrada do tubo forem de 0,5[\mathrm{~kg} / \mathrm{s}], qual será a temperatura do óleo na saída do tubo, T_{\mathrm{m}, s} ? Qual é a taxa de transferência de calor total no tubo?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
Diâmetro do tubo: D=50\\ \text{mm}=0{,}050\\ \text{m}.
Comprimento do tubo: L=25\\ \text{m}.
Temperatura da superfície (parede) mantida fixa: T_w=150\\ ^\circ\text{C}.
Vazão mássica do escoamento: \dot m=0{,}5\\ \text{kg/s}.
O que o enunciado pede:
A temperatura média do óleo na saída do tubo: T_{\mathrm{m},s} (ou T_{\mathrm{out}}).
A taxa total de transferência de calor no tubo: \dot Q.
Informações relevantes que faltam (necessárias para calcular numericamente T_{\mathrm{m},s} e \dot Q):
Temperatura média na entrada do tubo (ou temperatura do fluido na entrada) T_{\mathrm{in}}. Sem T_{\mathrm{in}} não há como determinar a variação de temperatura do fluido.
Propriedades termofísicas do óleo (avaliadas em temperatura apropriada): densidade \rho, capacidade calorífica c_p, condutividade térmica k e viscosidade dinâmica \mu. Essas propriedades são necessárias para calcular o número de Reynolds, o número de Prandtl e o coeficiente convectivo h.
Informação sobre o regime de escoamento (se não fornecida, deve ser inferida via Reynolds a partir das propriedades acima).
Sem T_{\mathrm{in}} e sem as propriedades do óleo não é possível obter um valor numérico para T_{\mathrm{m},s} nem para \dot Q. Nos próximos passos eu mostro detalhadamente o método completo — fórmulas, significado de cada termo e o passo a passo para calcular numericamente assim que esses dados estiverem disponíveis.
Passo 2
Equação de balanço de energia (forma diferencial) para escoamento unidimensional em tubo com parede a temperatura constante.
Considere a temperatura média do fluido ao longo do tubo \,T_m(x)\,. Um pequeno elemento de comprimento dx troca calor com a parede e altera sua energia interna. O balanço energético dá:
c_p é a capacidade calorífica do fluido a pressão constante \,(\text{J/(kg·K)});
h é o coeficiente convectivo de convecção interna \,(\text{W/(m}^2\text{·K)});
P é o perímetro interno do tubo; para tubo circular P=\pi D;
T_w é a temperatura da parede (constante);
T_m=T_m(x) é a temperatura média do fluido no plano transversal em posição x.
Explicação física: a taxa de ganho de energia por massa que atravessa a seção (\dot m c_p dT_m) é igual ao fluxo de calor periférico recebido da parede (hP (T_w - T_m)\,dx).
Passo 3
Integração da equação diferencial para obter T_m ao longo do tubo e, em particular, T_{\mathrm{out}}=T_m(L).
Separe variáveis e integre de x=0 (entrada, T_m(0)=T_{\mathrm{in}}) até x=L:
\frac{dT_m}{T_w - T_m} = \frac{hP}{\dot m c_p}\, dx.
Integrando:
-\ln\!\bigl(T_w - T_m(x)\bigr)\Big|_{T_{\mathrm{in}}}^{T_m(x)} = \frac{hP}{\dot m c_p} x,
o que leva à solução exponencial:
T_m(x) = T_w - \bigl(T_w - T_{\mathrm{in}}\bigr)\exp\!\Bigl(-\dfrac{h P x}{\dot m c_p}\Bigr).
Portanto, a temperatura média na saída (x=L) é
\boxed{\,T_{\mathrm{m},s}=T_m(L)=T_w - \bigl(T_w - T_{\mathrm{in}}\bigr)\exp\!\Bigl(-\dfrac{h P L}{\dot m c_p}\Bigr)\, }.
Significado dos termos:
O expoente adimensional \dfrac{h P L}{\dot m c_p} mede a capacidade do trocador (perda térmica por unidade de massa) — se for grande, o fluido aproxima-se de T_w; se for pequeno, a temperatura pouco muda.
Passo 4
Expressão para a taxa total de transferência de calor \dot Q.
Usando a expressão de T_{\mathrm{m},s} obtida, pode-se reescrever \dot Q explicitamente como
\boxed{\,\dot Q = \dot m c_p \bigl(T_w - T_{\mathrm{in}}\bigr)\Bigl[1 - \exp\!\Bigl(-\dfrac{h P L}{\dot m c_p}\Bigr)\Bigr]\, }.
Observação: alternativamente a taxa de calor também pode ser obtida integrando localmente q' = hP\bigl(T_w - T_m(x)\bigr) ao longo de x, mas a expressão acima é mais direta.
Passo 5
Como determinar o coeficiente convectivo h (passo essencial). Relação com Nusselt:
O coeficiente h é obtido por
\boxed{\,h = \dfrac{\mathrm{Nu}\,k}{D}\, }
onde:
\mathrm{Nu} é o número de Nusselt (adimensional), função de \mathrm{Re} e \mathrm{Pr} e das condições de contorno térmico;
k é a condutividade térmica do óleo \,(\text{W/(m·K)});
com n=0{,}4 para aquecimento do fluido pela parede (parede mais quente que fluido).
Para regimes intermediários ou fluxos desenvolvendo-se termicamente/hidrodinamicamente, usar correlações mais completas (Sieder–Tate, correlações empíricas) e considerar efeitos de variação de propriedades com temperatura.
Portanto, para obter h numericamente é necessário saber \rho,c_p,k,\mu e então:
calcular \mathrm{Re} e \mathrm{Pr},
escolher a correlação apropriada para \mathrm{Nu},
calcular h=\mathrm{Nu}\,k/D.
Passo 6
Procedimento prático passo a passo (resumo operacional que você pode aplicar na prova, sem pular etapas):
Reunir dados numéricos: T_{\mathrm{in}}, \dot m, D, L, T_w, e propriedades do óleo \rho,c_p,k,\mu (avaliadas em uma temperatura média estimada, por ex. (T_{\mathrm{in}}+T_w)/2).
Calcular a área da seção A=\pi D^2/4 e o perímetro P=\pi D.
Calcular \mathrm{Re} = 4\dot m/(\pi D \mu) e \mathrm{Pr}=c_p\mu/k.
Determinar o regime de escoamento e escolher a correlação para \mathrm{Nu} (por ex. \mathrm{Nu}=3{,}66 se laminar e termicamente totalmente desenvolvido; Dittus–Boelter se turbulento).
Calcular h=\mathrm{Nu}\,k/D.
Calcular T_{\mathrm{m},s} com
T_{\mathrm{m},s}=T_w - (T_w - T_{\mathrm{in}})\exp\!\Bigl(-\dfrac{h P L}{\dot m c_p}\Bigr).
Calcular \dot Q = \dot m c_p (T_{\mathrm{m},s} - T_{\mathrm{in}}) (ou usar a expressão com o fator exponencial).
Checar coerência (se \dot Q > 0 quando T_w>T_{\mathrm{in}}, se T_{\mathrm{m},s} fica entre T_{\mathrm{in}} e T_w, etc.).
Dica de prova: memorize a forma exponencial da solução para parede a temperatura constante, porque ela aparece frequentemente e economiza trabalho ao evitar integrações repetidas.
Passo 7
Exemplo ilustrativo (sem usar os seus dados, apenas para ver o fluxo de cálculo). Não é a resposta do seu problema porque os valores de T_{\mathrm{in}}, \rho,c_p,k,\mu não foram fornecidos no enunciado — isto é apenas para treinar o procedimento.
Suponha hipoteticamente (apenas para ilustrar) que:
Calcule \mathrm{Re}, \mathrm{Pr}, escolha correlação, calcule \mathrm{Nu}, calcule h, plugue em T_{\mathrm{m},s} e \dot Q.
Mas atenção: valores reais de \mu de óleos mudam muito com temperatura; usar um valor incorreto leva a resultados totalmente errados. Portanto, só use estes passos para calcular quando tiver os dados corretos.
Passo 8
Resumo final: a solução analítica está pronta e é
T_{\mathrm{m},s}=T_w - (T_w - T_{\mathrm{in}})\exp\!\Bigl(-\dfrac{h \pi D L}{\dot m c_p}\Bigr), \qquad \dot Q = \dot m c_p (T_{\mathrm{m},s} - T_{\mathrm{in}}).
Porém, para obter valores numéricos de T_{\mathrm{m},s} e \dot Q é imprescindível conhecer:
T_{\mathrm{in}} (temperatura de entrada do óleo), e
as propriedades do óleo (\rho, c_p, k, \mu) para calcular \mathrm{Re},\mathrm{Pr},\mathrm{Nu} e daí h.
Sem esses dados não é possível dar uma resposta numérica correta.
Resposta
Não é possível determinar numericamente T_{\mathrm{m},s} nem \dot Q: faltam a temperatura de entrada T_{\mathrm{in}} e as propriedades termofísicas do óleo (\rho, c_p, k, \mu), que são necessárias para calcular o coeficiente convectivo h e, então, os valores pedidos.