Óleo motor é aquecido ao escoar através de um tubo circular com diâmetro D=50[\mathrm{~mm}] e comprimento L=25[\mathrm{~m}], cuja superfície é mantida em 150\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right]. Se a vazão do escoamento e a temperatura na entrada do tubo forem de 0,5[\mathrm{~kg} / \mathrm{s}], qual será a temperatura do óleo na saída do tubo, T_{\mathrm{m}, s} ? Qual é a taxa de transferência de calor total no tubo?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Diâmetro do tubo: D=50\\ \text{mm}=0{,}050\\ \text{m}.
  • Comprimento do tubo: L=25\\ \text{m}.
  • Temperatura da superfície (parede) mantida fixa: T_w=150\\ ^\circ\text{C}.
  • Vazão mássica do escoamento: \dot m=0{,}5\\ \text{kg/s}.
O que o enunciado pede:
  • A temperatura média do óleo na saída do tubo: T_{\mathrm{m},s} (ou T_{\mathrm{out}}).
  • A taxa total de transferência de calor no tubo: \dot Q.
Informações relevantes que faltam (necessárias para calcular numericamente T_{\mathrm{m},s} e \dot Q):
  • Temperatura média na entrada do tubo (ou temperatura do fluido na entrada) T_{\mathrm{in}}. Sem T_{\mathrm{in}} não há como determinar a variação de temperatura do fluido.
  • Propriedades termofísicas do óleo (avaliadas em temperatura apropriada): densidade \rho, capacidade calorífica c_p, condutividade térmica k e viscosidade dinâmica \mu. Essas propriedades são necessárias para calcular o número de Reynolds, o número de Prandtl e o coeficiente convectivo h.
  • Informação sobre o regime de escoamento (se não fornecida, deve ser inferida via Reynolds a partir das propriedades acima).
Sem T_{\mathrm{in}} e sem as propriedades do óleo não é possível obter um valor numérico para T_{\mathrm{m},s} nem para \dot Q. Nos próximos passos eu mostro detalhadamente o método completo — fórmulas, significado de cada termo e o passo a passo para calcular numericamente assim que esses dados estiverem disponíveis.

Passo 2

Equação de balanço de energia (forma diferencial) para escoamento unidimensional em tubo com parede a temperatura constante.
Considere a temperatura média do fluido ao longo do tubo \,T_m(x)\,. Um pequeno elemento de comprimento dx troca calor com a parede e altera sua energia interna. O balanço energético dá:
\dot m\, c_p\, \dfrac{dT_m}{dx} = h\,P\,(T_w - T_m),
onde:
  • \dot m é a vazão mássica \,(\text{kg/s});
  • c_p é a capacidade calorífica do fluido a pressão constante \,(\text{J/(kg·K)});
  • h é o coeficiente convectivo de convecção interna \,(\text{W/(m}^2\text{·K)});
  • P é o perímetro interno do tubo; para tubo circular P=\pi D;
  • T_w é a temperatura da parede (constante);
  • T_m=T_m(x) é a temperatura média do fluido no plano transversal em posição x.
Explicação física: a taxa de ganho de energia por massa que atravessa a seção ( \dot m c_p dT_m) é igual ao fluxo de calor periférico recebido da parede ( hP (T_w - T_m)\,dx).

Passo 3

Integração da equação diferencial para obter T_m ao longo do tubo e, em particular, T_{\mathrm{out}}=T_m(L).
Separe variáveis e integre de x=0 (entrada, T_m(0)=T_{\mathrm{in}}) até x=L:
\frac{dT_m}{T_w - T_m} = \frac{hP}{\dot m c_p}\, dx.
Integrando:
-\ln\!\bigl(T_w - T_m(x)\bigr)\Big|_{T_{\mathrm{in}}}^{T_m(x)} = \frac{hP}{\dot m c_p} x,
o que leva à solução exponencial:
T_m(x) = T_w - \bigl(T_w - T_{\mathrm{in}}\bigr)\exp\!\Bigl(-\dfrac{h P x}{\dot m c_p}\Bigr).
Portanto, a temperatura média na saída ( x=L) é
\boxed{\,T_{\mathrm{m},s}=T_m(L)=T_w - \bigl(T_w - T_{\mathrm{in}}\bigr)\exp\!\Bigl(-\dfrac{h P L}{\dot m c_p}\Bigr)\, }.
Significado dos termos:
  • O expoente adimensional \dfrac{h P L}{\dot m c_p} mede a capacidade do trocador (perda térmica por unidade de massa) — se for grande, o fluido aproxima-se de T_w; se for pequeno, a temperatura pouco muda.

Passo 4

Expressão para a taxa total de transferência de calor \dot Q.
A partir do balanço energético global:
\dot Q = \dot m\, c_p\,(T_{\mathrm{m},s} - T_{\mathrm{in}}).
Usando a expressão de T_{\mathrm{m},s} obtida, pode-se reescrever \dot Q explicitamente como
\boxed{\,\dot Q = \dot m c_p \bigl(T_w - T_{\mathrm{in}}\bigr)\Bigl[1 - \exp\!\Bigl(-\dfrac{h P L}{\dot m c_p}\Bigr)\Bigr]\, }.
Observação: alternativamente a taxa de calor também pode ser obtida integrando localmente q' = hP\bigl(T_w - T_m(x)\bigr) ao longo de x, mas a expressão acima é mais direta.

Passo 5

Como determinar o coeficiente convectivo h (passo essencial). Relação com Nusselt:
O coeficiente h é obtido por
\boxed{\,h = \dfrac{\mathrm{Nu}\,k}{D}\, }
onde:
  • \mathrm{Nu} é o número de Nusselt (adimensional), função de \mathrm{Re} e \mathrm{Pr} e das condições de contorno térmico;
  • k é a condutividade térmica do óleo \,(\text{W/(m·K)});
  • D é o diâmetro.
Cálculo de \mathrm{Re} e \mathrm{Pr}:
\mathrm{Re} = \dfrac{\rho\,V D}{\mu} = \dfrac{4\dot m}{\pi D \mu}, \qquad \mathrm{Pr} = \dfrac{c_p \mu}{k},
onde \mu é a viscosidade dinâmica do óleo e \rho a densidade.
Escolha da correlação para \mathrm{Nu}:
  • Se escoamento laminar, hidrodinamicamente e termicamente totalmente desenvolvido e parede com temperatura constante: \mathrm{Nu}=3{,}66.
  • Se escoamento turbulento (tipicamente \mathrm{Re}\gtrsim 10^4), uma correlação frequentemente usada é Dittus–Boelter:
\mathrm{Nu} = 0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\mathrm{Pr}^{n},
com n=0{,}4 para aquecimento do fluido pela parede (parede mais quente que fluido).
  • Para regimes intermediários ou fluxos desenvolvendo-se termicamente/hidrodinamicamente, usar correlações mais completas (Sieder–Tate, correlações empíricas) e considerar efeitos de variação de propriedades com temperatura.
Portanto, para obter h numericamente é necessário saber \rho,c_p,k,\mu e então:
  1. calcular \mathrm{Re} e \mathrm{Pr},
  2. escolher a correlação apropriada para \mathrm{Nu},
  3. calcular h=\mathrm{Nu}\,k/D.

Passo 6

Procedimento prático passo a passo (resumo operacional que você pode aplicar na prova, sem pular etapas):
  1. Reunir dados numéricos: T_{\mathrm{in}}, \dot m, D, L, T_w, e propriedades do óleo \rho,c_p,k,\mu (avaliadas em uma temperatura média estimada, por ex. (T_{\mathrm{in}}+T_w)/2).
  2. Calcular a área da seção A=\pi D^2/4 e o perímetro P=\pi D.
  3. Calcular \mathrm{Re} = 4\dot m/(\pi D \mu) e \mathrm{Pr}=c_p\mu/k.
  4. Determinar o regime de escoamento e escolher a correlação para \mathrm{Nu} (por ex. \mathrm{Nu}=3{,}66 se laminar e termicamente totalmente desenvolvido; Dittus–Boelter se turbulento).
  5. Calcular h=\mathrm{Nu}\,k/D.
  6. Calcular T_{\mathrm{m},s} com
T_{\mathrm{m},s}=T_w - (T_w - T_{\mathrm{in}})\exp\!\Bigl(-\dfrac{h P L}{\dot m c_p}\Bigr).
  1. Calcular \dot Q = \dot m c_p (T_{\mathrm{m},s} - T_{\mathrm{in}}) (ou usar a expressão com o fator exponencial).
  2. Checar coerência (se \dot Q > 0 quando T_w>T_{\mathrm{in}}, se T_{\mathrm{m},s} fica entre T_{\mathrm{in}} e T_w, etc.).
Dica de prova: memorize a forma exponencial da solução para parede a temperatura constante, porque ela aparece frequentemente e economiza trabalho ao evitar integrações repetidas.

Passo 7

Exemplo ilustrativo (sem usar os seus dados, apenas para ver o fluxo de cálculo). Não é a resposta do seu problema porque os valores de T_{\mathrm{in}}, \rho,c_p,k,\mu não foram fornecidos no enunciado — isto é apenas para treinar o procedimento.
Suponha hipoteticamente (apenas para ilustrar) que:
  • T_{\mathrm{in}}=40\\ ^\circ\text{C},
  • \rho=870\\ \text{kg/m}^3,
  • c_p=2000\\ \text{J/(kg·K)},
  • k=0{,}13\\ \text{W/(m·K)},
  • \mu=5\times10^{-3}\\ \text{Pa·s} (valor fictício).
Então:
  • Calcule \mathrm{Re}, \mathrm{Pr}, escolha correlação, calcule \mathrm{Nu}, calcule h, plugue em T_{\mathrm{m},s} e \dot Q.
    Mas atenção: valores reais de \mu de óleos mudam muito com temperatura; usar um valor incorreto leva a resultados totalmente errados. Portanto, só use estes passos para calcular quando tiver os dados corretos.

Passo 8

Resumo final: a solução analítica está pronta e é
T_{\mathrm{m},s}=T_w - (T_w - T_{\mathrm{in}})\exp\!\Bigl(-\dfrac{h \pi D L}{\dot m c_p}\Bigr), \qquad \dot Q = \dot m c_p (T_{\mathrm{m},s} - T_{\mathrm{in}}).
Porém, para obter valores numéricos de T_{\mathrm{m},s} e \dot Q é imprescindível conhecer:
  • T_{\mathrm{in}} (temperatura de entrada do óleo), e
  • as propriedades do óleo ( \rho, c_p, k, \mu) para calcular \mathrm{Re},\mathrm{Pr},\mathrm{Nu} e daí h.
Sem esses dados não é possível dar uma resposta numérica correta.

Resposta

Não é possível determinar numericamente T_{\mathrm{m},s} nem \dot Q: faltam a temperatura de entrada T_{\mathrm{in}} e as propriedades termofísicas do óleo ( \rho, c_p, k, \mu), que são necessárias para calcular o coeficiente convectivo h e, então, os valores pedidos.

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