Em uma fábrica,
dos produtos produzidos possuem algum defeito. Escolhido ao acaso, qual a probabilidade de pelo menos 3 produtos serem defeituosos em uma amostra de 50 ?
Passo 1
O enunciado diz que, em uma fábrica,
dos produtos têm defeito. Foi retirada uma amostra de
produtos ao acaso. A pergunta é: qual a probabilidade de que, nessa amostra, haja pelo menos
produtos defeituosos?
Informações dadas:
Informações dadas:
- Tamanho da amostra:
. - Probabilidade de defeito em cada produto (independente):
. - Queremos a probabilidade de "pelo menos
" defeituosos, isto é, o evento , onde é o número de defeituosos na amostra.
Passo 2
Escolha do método: como temos um número fixo
de ensaios independentes e a probabilidade de “sucesso” (aqui, “produto defeituoso”) é constante
, o modelo apropriado é a distribuição binomial. Vou usar o cálculo exato pela binomial porque é o método mais direto e elementar para este problema; depois mostro uma aproximação de Poisson como checagem rápida (útil em prova para estimativa). Agora explico a distribuição binomial e a fórmula que vamos usar.
A distribuição binomial: se
, então a probabilidade de exatamente
sucessos é dada por
onde
é o número de maneiras de escolher quais
ensaios deram sucesso entre os
. Aqui cada símbolo significa:
= número total de ensaios (aqui
),
= número de defeituosos que queremos contar,
= probabilidade de defeito (
),
= probabilidade de não defeito (
).
Passo 3
Transformar "pelo menos
" numa forma mais fácil de calcular: é mais simples calcular a probabilidade complementar “0, 1 ou 2 defeituosos” e subtrair de
. Ou seja,
Então precisamos calcular
,
e
pela fórmula binomial.
Passo 4
Calcular
. Pela fórmula,
Interpretação prática: nenhum defeito significa todos os
produtos são não defeituosos, então multiplicamos
por si mesmo
vezes.
Para obter um valor numérico razoável fazemos uma aproximação usando logaritmos/exponencial (ou uso de calculadora se permitido). Uma maneira rápida é usar
, então
, e portanto
Vou guardar esse valor:
(arredondando às milésimas/quatro casas decimais).
Passo 5
Calcular
. Pela fórmula,
Note um truque prático (útil sem muita conta difícil): como
, temos
Usando
,
Também é possível ver isso pelo raciocínio geral de recorrência para binomial:
mas aqui o cálculo direto acima já foi suficiente.
Passo 6
Calcular
. Pela fórmula,
Calculamos
. Como
, o fator combinatório vezes
é
Logo
Agora escrevemos
. Como
, com
obtemos
e assim
(Verificação alternativa: usar a relação de recorrência do passo anterior para obter
a partir de
também funciona.)
Passo 7
Somar as probabilidades de
,
e
defeituosos:
Portanto a probabilidade desejada é
Ou seja, aproximadamente
.
Passo 8
Checagem rápida pela aproximação de Poisson (útil em prova para estimativa): quando
grande e
pequeno, a binomial
pode ser aproximada por
com
. Aqui
. Para
,
Como
, isso dá
, bem próximo do valor exato
. A proximidade confirma que nosso cálculo binomial está correto.