Em uma fábrica, 2 \% dos produtos produzidos possuem algum defeito. Escolhido ao acaso, qual a probabilidade de pelo menos 3 produtos serem defeituosos em uma amostra de 50 ?

Passo 1

O enunciado diz que, em uma fábrica, 2\% dos produtos têm defeito. Foi retirada uma amostra de 50 produtos ao acaso. A pergunta é: qual a probabilidade de que, nessa amostra, haja pelo menos 3 produtos defeituosos?
Informações dadas:
  • Tamanho da amostra: n=50.
  • Probabilidade de defeito em cada produto (independente): p=0,02.
  • Queremos a probabilidade de "pelo menos 3" defeituosos, isto é, o evento \{X\ge 3\}, onde X é o número de defeituosos na amostra.

Passo 2

Escolha do método: como temos um número fixo n de ensaios independentes e a probabilidade de “sucesso” (aqui, “produto defeituoso”) é constante p, o modelo apropriado é a distribuição binomial. Vou usar o cálculo exato pela binomial porque é o método mais direto e elementar para este problema; depois mostro uma aproximação de Poisson como checagem rápida (útil em prova para estimativa). Agora explico a distribuição binomial e a fórmula que vamos usar.
A distribuição binomial: se X\sim \mathrm{Bin}(n,p), então a probabilidade de exatamente k sucessos é dada por
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k ensaios deram sucesso entre os n. Aqui cada símbolo significa: n = número total de ensaios (aqui 50), k = número de defeituosos que queremos contar, p = probabilidade de defeito ( 0,02), 1-p = probabilidade de não defeito ( 0,98).

Passo 3

Transformar "pelo menos 3" numa forma mais fácil de calcular: é mais simples calcular a probabilidade complementar “0, 1 ou 2 defeituosos” e subtrair de 1. Ou seja,
P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)=1-\big(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\big).
Então precisamos calcular P(X=0), P(X=1) e P(X=2) pela fórmula binomial.

Passo 4

Calcular P(X=0). Pela fórmula,
P(X=0)=\binom{50}{0}\,0,02^{0}\,0,98^{50}=0,98^{50}.
Interpretação prática: nenhum defeito significa todos os 50 produtos são não defeituosos, então multiplicamos 0,98 por si mesmo 50 vezes.
Para obter um valor numérico razoável fazemos uma aproximação usando logaritmos/exponencial (ou uso de calculadora se permitido). Uma maneira rápida é usar \ln(0,98)\approx -0,0202027, então \ln(0,98^{50})=50\ln(0,98)\approx -1,010135, e portanto
0,98^{50}\approx e^{-1,010135}\approx 0,36417.
Vou guardar esse valor: P(X=0)\approx 0,364172 (arredondando às milésimas/quatro casas decimais).

Passo 5

Calcular P(X=1). Pela fórmula,
P(X=1)=\binom{50}{1}\,0,02^{1}\,0,98^{49}=50\cdot 0,02\cdot 0,98^{49}.
Note um truque prático (útil sem muita conta difícil): como 50\cdot 0,02=1, temos
P(X=1)=0,98^{49}=\frac{0,98^{50}}{0,98}=\frac{P(X=0)}{0,98}.
Usando P(X=0)\approx 0,364172,
P(X=1)\approx \frac{0,364172}{0,98}\approx 0,371602.
Também é possível ver isso pelo raciocínio geral de recorrência para binomial:
\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}=\frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p},
mas aqui o cálculo direto acima já foi suficiente.

Passo 6

Calcular P(X=2). Pela fórmula,
P(X=2)=\binom{50}{2}\,0,02^{2}\,0,98^{48}.
Calculamos \binom{50}{2}=\dfrac{50\cdot49}{2}=1225. Como 0,02^{2}=0,0004, o fator combinatório vezes p^2 é
1225\cdot 0,0004=0,49.
Logo
P(X=2)=0,49\cdot 0,98^{48}.
Agora escrevemos 0,98^{48}=\dfrac{0,98^{50}}{0,98^{2}}=\dfrac{P(X=0)}{0,98^{2}}. Como 0,98^{2}=0,9604, com P(X=0)\approx 0,364172 obtemos
0,98^{48}\approx \frac{0,364172}{0,9604}\approx 0,379221,
e assim
P(X=2)\approx 0,49\cdot 0,379221\approx 0,185818.
(Verificação alternativa: usar a relação de recorrência do passo anterior para obter P(X=2) a partir de P(X=1) também funciona.)

Passo 7

Somar as probabilidades de 0, 1 e 2 defeituosos:
P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\approx 0,364172+0,371602+0,185818\approx 0,921592.
Portanto a probabilidade desejada é
P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)\approx 1-0,921592\approx 0,078408.
Ou seja, aproximadamente 7{,}84\%.

Passo 8

Checagem rápida pela aproximação de Poisson (útil em prova para estimativa): quando n grande e p pequeno, a binomial \mathrm{Bin}(n,p) pode ser aproximada por \mathrm{Pois}(\lambda) com \lambda=n p. Aqui \lambda=50\cdot 0,02=1. Para Y\sim\mathrm{Pois}(1),
P(Y\ge 3)=1-\big(P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)\big)=1-e^{-1}\Big(1+1+\tfrac{1}{2}\Big)=1-2{,}5e^{-1}.
Como e^{-1}\approx 0,367879, isso dá 1-2{,}5\cdot0,367879\approx 0,08030, bem próximo do valor exato 0,07841. A proximidade confirma que nosso cálculo binomial está correto.

Resposta

0,07841

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