Joãozinho decidiu adotar um cachorro e recebeu a informação de que um canil de sua cidade estava doando 8 cachorros, porém, sua mãe estabeleceu que só permitiria que Joãozinho adotasse um cachorro se este fosse fêmea. Qual a probabilidade de que no canil não haja nenhum cachorro fêmea? E de haver duas fêmeas?
Passo 1
O enunciado diz que no canil há
cachorros sendo doados. A mãe do Joãozinho só aceita se o cachorro for fêmea. As perguntas são duas:
- Qual a probabilidade de que no canil não haja nenhuma fêmea?
- Qual a probabilidade de que haja exatamente duas fêmeas?
Informações relevantes do enunciado: o total de cães é
. Não foi dado outro dado sobre proporção de sexos, nem dependência entre cães.
Passo 2
Como o enunciado não dá a probabilidade de um cachorro ser fêmea nem indica dependência entre os sexos dos cães, vamos usar a hipótese natural e usual para esse tipo de problema: cada cachorro, independentemente dos outros, tem probabilidade
de ser fêmea e
de ser macho. Essa suposição é comum quando não há informação adicional: sexo masculino e feminino são igualmente prováveis e escolhas são independentes.
Com essas hipóteses, o número
de fêmeas entre os
cães segue uma distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de exatamente
sucessos (aqui, fêmeas) em
ensaios independentes com probabilidade
de sucesso por ensaio é:
Aqui:
-
é a probabilidade de haver exatamente fêmeas, -
é o coeficiente binomial (número de formas de escolher quais cães são fêmea), -
é a probabilidade de um cachorro ser fêmea (aqui ), -
é o total de cães ( ), -
é o número de fêmeas que queremos.
Vou usar essa fórmula para os casos pedidos (
e
).
Passo 3
Calculando a probabilidade de não haver nenhuma fêmea, isto é
. Aplicando a fórmula com
,
,
:
Agora avalio cada fator:
Multiplicando:
Em decimal isso é aproximadamente
.
Passo 4
Agora a probabilidade de haver exatamente duas fêmeas,
. Use a mesma fórmula com
,
,
:
Calculo do coeficiente binomial:
As potências de
juntas dão
Portanto
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
Em decimal isso é aproximadamente
.
Passo 5
Resumo rápido do que fizemos: modelamos o problema com a distribuição binomial por causa de experimentos independentes (cada cachorro é fêmea ou não) e probabilidade igual
. Calculamos
e
. Força aí — essas contas são bem diretas em prova: identificar binomial, aplicar fórmula, calcular binomial coefficient e simplificar.
Resposta
Probabilidade de não haver nenhuma fêmea:
Probabilidade de haver exatamente duas fêmeas:
Probabilidade de haver exatamente duas fêmeas: