Joãozinho decidiu adotar um cachorro e recebeu a informação de que um canil de sua cidade estava doando 8 cachorros, porém, sua mãe estabeleceu que só permitiria que Joãozinho adotasse um cachorro se este fosse fêmea. Qual a probabilidade de que no canil não haja nenhum cachorro fêmea? E de haver duas fêmeas?

Passo 1

O enunciado diz que no canil há 8 cachorros sendo doados. A mãe do Joãozinho só aceita se o cachorro for fêmea. As perguntas são duas:
  1. Qual a probabilidade de que no canil não haja nenhuma fêmea?
  2. Qual a probabilidade de que haja exatamente duas fêmeas?
Informações relevantes do enunciado: o total de cães é 8. Não foi dado outro dado sobre proporção de sexos, nem dependência entre cães.

Passo 2

Como o enunciado não dá a probabilidade de um cachorro ser fêmea nem indica dependência entre os sexos dos cães, vamos usar a hipótese natural e usual para esse tipo de problema: cada cachorro, independentemente dos outros, tem probabilidade p=\tfrac{1}{2} de ser fêmea e 1-p=\tfrac{1}{2} de ser macho. Essa suposição é comum quando não há informação adicional: sexo masculino e feminino são igualmente prováveis e escolhas são independentes.
Com essas hipóteses, o número X de fêmeas entre os n=8 cães segue uma distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de exatamente k sucessos (aqui, fêmeas) em n ensaios independentes com probabilidade p de sucesso por ensaio é:
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}.
Aqui:
  • \Pr(X=k) é a probabilidade de haver exatamente k fêmeas,
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de formas de escolher quais k cães são fêmea),
  • p é a probabilidade de um cachorro ser fêmea (aqui p=\tfrac{1}{2}),
  • n é o total de cães ( n=8),
  • k é o número de fêmeas que queremos.
Vou usar essa fórmula para os casos pedidos ( k=0 e k=2).

Passo 3

Calculando a probabilidade de não haver nenhuma fêmea, isto é k=0. Aplicando a fórmula com n=8, k=0, p=\tfrac{1}{2}:
\Pr(X=0)=\binom{8}{0}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{0}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{8-0}.
Agora avalio cada fator:
\binom{8}{0}=1,
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{0}=1,
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{8}=\tfrac{1}{2^{8}}=\tfrac{1}{256}.
Multiplicando:
\Pr(X=0)=1\cdot 1\cdot \tfrac{1}{256}=\tfrac{1}{256}.
Em decimal isso é aproximadamente \tfrac{1}{256}\approx 0,00390625.

Passo 4

Agora a probabilidade de haver exatamente duas fêmeas, k=2. Use a mesma fórmula com n=8, k=2, p=\tfrac{1}{2}:
\Pr(X=2)=\binom{8}{2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{8-2}.
Calculo do coeficiente binomial:
\binom{8}{2}=\frac{8!}{2!\,6!}=\frac{8\cdot 7}{2\cdot 1}=28.
As potências de \tfrac{1}{2} juntas dão
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{6}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{8}=\tfrac{1}{256}.
Portanto
\Pr(X=2)=28\cdot \tfrac{1}{256}=\tfrac{28}{256}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 4:
\tfrac{28}{256}=\tfrac{7}{64}.
Em decimal isso é aproximadamente \tfrac{7}{64}\approx 0,109375.

Passo 5

Resumo rápido do que fizemos: modelamos o problema com a distribuição binomial por causa de experimentos independentes (cada cachorro é fêmea ou não) e probabilidade igual 1/2. Calculamos \Pr(X=0)=\tfrac{1}{256} e \Pr(X=2)=\tfrac{7}{64}. Força aí — essas contas são bem diretas em prova: identificar binomial, aplicar fórmula, calcular binomial coefficient e simplificar.

Resposta

Probabilidade de não haver nenhuma fêmea: \tfrac{1}{256} \approx 0,00390625
Probabilidade de haver exatamente duas fêmeas: \tfrac{7}{64} \approx 0,109375

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