A probabilidade de que um cliente escolhido aleatoriamente faça uma compra é de
. Se o vendedor visita 6 clientes, qual a probabilidade de que ele faça no mínimo 4 vendas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Probabilidade de que um cliente escolhido faça uma compra:
. - Número de clientes visitados:
. - Pergunta: qual a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo
vendas? Em linguagem de probabilidades, queremos , onde é o número de clientes que compram entre os visitados.
Passo 2
Modelo e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Cada visita é um ensaio com apenas duas possibilidades: “venda” (sucesso) ou “não venda” (fracasso). Como a probabilidade de venda é sempre a mesma e as visitas são independentes,
segue uma distribuição binomial. - A fórmula da probabilidade de exatamente
sucessos em ensaios é
onde:
-
é o número total de ensaios (aqui ); -
é o número de sucessos que queremos (aqui ); -
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui ); -
é o número de maneiras de escolher quais ensaios dão sucesso, e é dado por . - Para não depender da calculadora, é útil trabalhar com frações:
e .
Passo 3
Queremos a probabilidade de "no mínimo
" vendas, ou seja
Vamos calcular cada termo usando a fórmula da binomial e somar.
Passo 4
Cálculo de
:
- Primeiro a combinação:
- Em frações,
e . - Multiplicando:
- Podemos simplificar dividindo por
: . - Em decimal (para intuição):
.
Passo 5
Cálculo de
:
- Combinação:
- Potências:
e . - Multiplicando:
- Em decimal:
.
Passo 6
Cálculo de
:
- Combinação:
- Potências:
e . - Portanto
- Em decimal:
.
Passo 7
Somando os três termos (usar frações para exatidão):
- Escrevendo todos com denominador
: -
, -
, -
.
-
- Soma:
- Simplificando dividindo por
:
- Em decimal:
. - Em porcentagem:
.
Passo 8
Interpretação rápida e ânimo: a probabilidade é pequena — cerca de
— porque vender para um cliente tem só
de chance, e conseguir pelo menos
vendas em
tentativas é um evento de muitos sucessos quando a taxa é baixa. Você conseguiu acompanhar todas as contas passo a passo — isso é ótimo para a prova. Vamos com confiança!