A probabilidade de que um cliente escolhido aleatoriamente faça uma compra é de 20 \%. Se o vendedor visita 6 clientes, qual a probabilidade de que ele faça no mínimo 4 vendas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Probabilidade de que um cliente escolhido faça uma compra: 20\%.
  • Número de clientes visitados: 6.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo 4 vendas? Em linguagem de probabilidades, queremos P(X \ge 4), onde X é o número de clientes que compram entre os 6 visitados.

Passo 2

Modelo e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Cada visita é um ensaio com apenas duas possibilidades: “venda” (sucesso) ou “não venda” (fracasso). Como a probabilidade de venda é sempre a mesma e as visitas são independentes, X segue uma distribuição binomial.
  • A fórmula da probabilidade de exatamente k sucessos em n ensaios é
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • n é o número total de ensaios (aqui n=6);
  • k é o número de sucessos que queremos (aqui k=4,5,6);
  • p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui p=20\%=0,2);
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k ensaios dão sucesso, e é dado por \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
  • Para não depender da calculadora, é útil trabalhar com frações: p=\frac{1}{5} e 1-p=\frac{4}{5}.

Passo 3

Queremos a probabilidade de "no mínimo 4" vendas, ou seja
P(X\ge 4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6).
Vamos calcular cada termo usando a fórmula da binomial e somar.

Passo 4

Cálculo de P(X=4):
  • Primeiro a combinação:
\binom{6}{4}=\frac{6!}{4!\,2!}=\frac{6\cdot5\cdot4!}{4!\cdot2\cdot1}= \frac{6\cdot5}{2}=15.
  • Em frações, p^{4}=\left(\frac{1}{5}\right)^{4}=\frac{1}{625} e (1-p)^{2}=\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}.
  • Multiplicando:
P(X=4)=15\cdot\frac{1}{625}\cdot\frac{16}{25}=\frac{15\cdot16}{625\cdot25}=\frac{240}{15625}.
  • Podemos simplificar dividindo por 5: \frac{240}{15625}=\frac{48}{3125}.
  • Em decimal (para intuição): P(X=4)=0,01536.

Passo 5

Cálculo de P(X=5):
  • Combinação:
\binom{6}{5}=\frac{6!}{5!\,1!}=6.
  • Potências: p^{5}=\left(\frac{1}{5}\right)^{5}=\frac{1}{3125} e (1-p)^{1}=\frac{4}{5}.
  • Multiplicando:
P(X=5)=6\cdot\frac{1}{3125}\cdot\frac{4}{5}=\frac{6\cdot4}{3125\cdot5}=\frac{24}{15625}.
  • Em decimal: P(X=5)=0,001536.

Passo 6

Cálculo de P(X=6):
  • Combinação:
\binom{6}{6}=1.
  • Potências: p^{6}=\left(\frac{1}{5}\right)^{6}=\frac{1}{15625} e (1-p)^{0}=1.
  • Portanto
P(X=6)=\frac{1}{15625}.
  • Em decimal: P(X=6)=0,000064.

Passo 7

Somando os três termos (usar frações para exatidão):
  • Escrevendo todos com denominador 15625:
    • P(X=4)=\dfrac{240}{15625},
    • P(X=5)=\dfrac{24}{15625},
    • P(X=6)=\dfrac{1}{15625}.
  • Soma:
P(X\ge 4)=\frac{240+24+1}{15625}=\frac{265}{15625}.
  • Simplificando dividindo por 5:
\frac{265}{15625}=\frac{53}{3125}.
  • Em decimal: P(X\ge 4)=0,01696.
  • Em porcentagem: 1,696\%.

Passo 8

Interpretação rápida e ânimo: a probabilidade é pequena — cerca de 1{,}7\% — porque vender para um cliente tem só 20\% de chance, e conseguir pelo menos 4 vendas em 6 tentativas é um evento de muitos sucessos quando a taxa é baixa. Você conseguiu acompanhar todas as contas passo a passo — isso é ótimo para a prova. Vamos com confiança!

Resposta

\dfrac{53}{3125}
0,01696
1,696\%

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