A probabilidade de um indivíduo acusar reação negativa a injeção de determinado soro é de
. Determine a probabilidade de que, em 1000 indivíduos, exatamente 3 acusaram reação.
Passo 1
O enunciado dá a informação de que a probabilidade de um indivíduo acusar reação negativa é
. Queremos, entre
indivíduos, a probabilidade de que exatamente
acusaram reação.
Informações relevantes:
Probabilidade individual de reação:
.
Número de indivíduos (ensaios):
.
Evento pedido: exatamente
reações. Portanto queremos
onde
conta o número de reações em
pessoas.
Informações relevantes:
Passo 2
Modelo probabilístico apropriado: cada indivíduo tem sucesso (reação) com probabilidade
independente dos outros; com número fixo de ensaios
. Esse é o modelo Binomial. A distribuição Binomial tem a fórmula geral:
onde
é o número de formas de escolher quais
ensaios deram sucesso,
é a probabilidade desses
serem sucessos, e
é a probabilidade dos restantes serem fracassos. Aqui
,
,
.
Passo 3
Escrevendo a probabilidade pedida com a fórmula binomial:
Vou calcular cada fator passo a passo para chegar ao valor numérico.
Passo 4
Calcular o coeficiente binomial
. Pela definição:
Calculemos numerador e divisão:
Dividindo por
:
Portanto
.
Passo 5
Calcular
. Como
,
Multiplicando com o coeficiente binomial:
Assim os primeiros fatores juntos dão
.
Passo 6
Agora precisamos de
. Para calcular potências de números muito próximos de 1 sem calculadora é útil usar a aproximação via logaritmo: para
pequeno,
Aqui
, então
Multiplicando por
:
Logo
Para avaliar
escrevemos
, então
Usando a expansão
para
:
Sabendo que
, obtemos
Passo 7
Multiplicando tudo:
Faço a multiplicação:
Passo 8
Checagem com aproximação de Poisson (método rápido e muito usado quando
grande e
pequeno): para
grande e
pequeno com
, a Binomial
aproxima-se por
. Aqui
. A fórmula da Poisson é
Para
e
:
Como
, isso dá
que coincide com o valor obtido antes — ótima confirmação de que o cálculo está correto.