A probabilidade de um indivíduo acusar reação negativa a injeção de determinado soro é de 0,1 \%. Determine a probabilidade de que, em 1000 indivíduos, exatamente 3 acusaram reação.

Passo 1

O enunciado dá a informação de que a probabilidade de um indivíduo acusar reação negativa é 0,1\%. Queremos, entre 1000 indivíduos, a probabilidade de que exatamente 3 acusaram reação.
Informações relevantes:
\bullet Probabilidade individual de reação: p=0,1\%=0,001.
\bullet Número de indivíduos (ensaios): n=1000.
\bullet Evento pedido: exatamente 3 reações. Portanto queremos P(X=3) onde X conta o número de reações em 1000 pessoas.

Passo 2

Modelo probabilístico apropriado: cada indivíduo tem sucesso (reação) com probabilidade p independente dos outros; com número fixo de ensaios n. Esse é o modelo Binomial. A distribuição Binomial tem a fórmula geral:
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}
onde \binom{n}{k} é o número de formas de escolher quais k ensaios deram sucesso, p^k é a probabilidade desses k serem sucessos, e (1-p)^{n-k} é a probabilidade dos restantes serem fracassos. Aqui n=1000, p=0,001, k=3.

Passo 3

Escrevendo a probabilidade pedida com a fórmula binomial:
P(X=3)=\binom{1000}{3}\,(0,001)^{3}\,(0,999)^{997}.
Vou calcular cada fator passo a passo para chegar ao valor numérico.

Passo 4

Calcular o coeficiente binomial \binom{1000}{3}. Pela definição:
\binom{1000}{3}=\frac{1000\cdot 999\cdot 998}{3\cdot 2\cdot 1}.
Calculemos numerador e divisão:
1000\cdot 999=999000,
999000\cdot 998=999000\cdot(1000-2)=999000000-1998000=997002000.
Dividindo por 6:
\frac{997002000}{6}=166167000.
Portanto \binom{1000}{3}=166167000.

Passo 5

Calcular (0,001)^{3}. Como 0,001=10^{-3},
(0,001)^{3}=10^{-9}.
Multiplicando com o coeficiente binomial:
166167000\cdot 10^{-9}=0,166167.
Assim os primeiros fatores juntos dão 0,166167.

Passo 6

Agora precisamos de (0,999)^{997}. Para calcular potências de números muito próximos de 1 sem calculadora é útil usar a aproximação via logaritmo: para x pequeno,
\ln(1-x)\approx -x-\tfrac{x^{2}}{2}.
Aqui x=0,001, então
\ln(0,999)=\ln(1-0,001)\approx -0,001-\tfrac{(0,001)^{2}}{2}=-0,001-0,0000005=-0,0010005.
Multiplicando por 997:
997\cdot \ln(0,999)\approx 997\cdot(-0,0010005)\approx -0,9974985.
Logo
(0,999)^{997}=e^{997\ln(0,999)}\approx e^{-0,9974985}.
Para avaliar e^{-0,9974985} escrevemos -0,9974985=-1+0,0025015, então
e^{-0,9974985}=e^{-1}\,e^{0,0025015}.
Usando a expansão e^{y}\approx 1+y+\tfrac{y^{2}}{2} para y=0,0025015:
e^{0,0025015}\approx 1+0,0025015+\tfrac{(0,0025015)^{2}}{2}\approx 1+0,0025015+0,0000031\approx 1,0025046.
Sabendo que e^{-1}\approx 0,36787944, obtemos
(0,999)^{997}\approx 0,36787944\cdot 1,0025046\approx 0,3688239.

Passo 7

Multiplicando tudo:
P(X=3)\approx 0,166167\cdot 0,3688239.
Faço a multiplicação:
0,166167\cdot 0,3688239\approx 0,06131324.

Passo 8

Checagem com aproximação de Poisson (método rápido e muito usado quando n grande e p pequeno): para n grande e p pequeno com \lambda=np, a Binomial B(n,p) aproxima-se por \mathrm{Poisson}(\lambda). Aqui \lambda=np=1000\cdot 0,001=1. A fórmula da Poisson é
P(X=k)\approx e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Para k=3 e \lambda=1:
P(X=3)\approx e^{-1}\frac{1^{3}}{3!}=\frac{e^{-1}}{6}.
Como e^{-1}\approx 0,36787944, isso dá
\frac{e^{-1}}{6}\approx 0,06131324,
que coincide com o valor obtido antes — ótima confirmação de que o cálculo está correto.

Resposta

P(X=3)\approx 0,06131324

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