Resolver a equação diferencial não linear que segue (Equação de Bernoulli):
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não linear que você mandou, que é uma Equação de Bernoulli. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de cálculo diferencial e álgebra. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados agora; vou explicar cada parte conforme avançamos.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que temos:
Nossa meta é encontrar uma função $ y(x) $ que satisfaça essa equação. Para facilitar, vamos manipular a equação para isolar $ \frac{dy}{dx} $.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para isolar $ \frac{dy}{dx} $:
Agora, dividimos ambos os lados por $ 2x y $:
Passo 4
Simplificando a fração à direita:
Agora temos uma expressão para $ \frac{dy}{dx} $ em termos de $ y $ e $ x $. Mas ainda está meio complicada, né? Vamos tentar uma substituição para simplificar.
Passo 5
Vamos fazer uma substituição inteligente: deixe $ u = y^{2} $. Isso significa que $ y = \sqrt{u} $. Agora, vamos encontrar $ \frac{du}{dx} $:
Isso nos ajuda a reescrever a equação original em termos de $ u $.
Passo 6
Voltemos à equação original e substituamos:
Substituindo $ \frac{du}{dx} = 2y \cdot \frac{dy}{dx} $:
Então, a equação fica:
Passo 7
Agora, reorganizamos para colocá-la na forma de uma equação diferencial linear:
Dividimos ambos os lados por $ x $:
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando um fator integrante.
Passo 8
O próximo passo é encontrar o fator integrante $ \mu(x) $:
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) $:
Passo 9
A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto $ \mu(x) \cdot u $:
Integrando ambos os lados:
Isso nos dá:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 10
Agora, lembrando que $ u = y^{2} $, substituímos de volta:
Multiplicamos ambos os lados por $ x $:
Passo 11
Finalmente, resolvemos para $ y $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.