Resolver a equação diferencial não linear que segue (Equação de Bernoulli):
2 x y cdot d yd x-y^2+x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não linear que você mandou, que é uma Equação de Bernoulli. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de cálculo diferencial e álgebra. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados agora; vou explicar cada parte conforme avançamos.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que temos:
2x y cdot d yd x - y^2 + x = 0
Nossa meta é encontrar uma função $ y(x) $ que satisfaça essa equação. Para facilitar, vamos manipular a equação para isolar $ \frac{dy}{dx} $.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para isolar $ \frac{dy}{dx} $:
dydx
Agora, dividimos ambos os lados por $ 2x y $:
2x y cdot d yd x = y^2 - x

Passo 4

Simplificando a fração à direita:
d yd x = y^22x y - x2x y = y2x - 12y
Agora temos uma expressão para $ \frac{dy}{dx} $ em termos de $ y $ e $ x $. Mas ainda está meio complicada, né? Vamos tentar uma substituição para simplificar.

Passo 5

Vamos fazer uma substituição inteligente: deixe $ u = y^{2} $. Isso significa que $ y = \sqrt{u} $. Agora, vamos encontrar $ \frac{du}{dx} $:
u = y^2
Isso nos ajuda a reescrever a equação original em termos de $ u $.

Passo 6

Voltemos à equação original e substituamos:
2x y cdot d yd x - y^2 + x = 0
Substituindo $ \frac{du}{dx} = 2y \cdot \frac{dy}{dx} $:
dudx = 2y cdot dydx
Então, a equação fica:
2x y cdot dydx = x cdot dudx

Passo 7

Agora, reorganizamos para colocá-la na forma de uma equação diferencial linear:
x cdot dudx - u = -x
Dividimos ambos os lados por $ x $:
x
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 8

O próximo passo é encontrar o fator integrante $ \mu(x) $:
mu(x)
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) $:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral -1x dx = e^-ln x = 1x

Passo 9

A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto $ \mu(x) \cdot u $:
mu(x) cdot u
Integrando ambos os lados:
ddx( ux ) = -1x
Isso nos dá:
integral ddx( ux ) dx = integral -1x dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 10

Agora, lembrando que $ u = y^{2} $, substituímos de volta:
u = y^2
Multiplicamos ambos os lados por $ x $:
y^2x = -ln x + C

Passo 11

Finalmente, resolvemos para $ y $:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
y = raizx(-ln x + C)
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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