Forneça o Wronskiano do conjunto de funções dadas e use essa informação para classificar tal conjunto como LD ou LI.
[f1(x)=x^2, f2(x)=x^3]

Passo 1

Temos o conjunto de funções f1(x)=x^2 e f2(x)=x^3. O conteúdo aqui é o Wronskiano e a classificação de dependência linear (LD) ou independência linear (LI). Para resolver, vamos derivar as funções e usar a definição do Wronskiano.

Passo 2

Calculamos as derivadas de primeira ordem de cada função:
f1'(x)=2x
f2'(x)=3x^2

Passo 3

Pela definição, o Wronskiano W(x) do par (f1,f2) é o determinante da matriz cujas linhas são as funções e suas derivadas:
W(x)= f1(x) & f2(x) f1'(x) & f2'(x) = x^2 & x^3 2x & 3x^2

Passo 4

Agora, calculamos o determinante:
W(x)=x^2cdot3x^2 - x^3cdot2x = 3x^4 - 2x^4 = x^4

Passo 5

Observamos que W(x)=x^4 é zero apenas em x=0 e diferente de zero para xneq0. Pelo critério do Wronskiano, se W(x)neq0 em um intervalo, as funções são linearmente independentes nesse intervalo.
Logo, as funções x^2 e x^3 são linearmente independentes (LI) em qualquer intervalo que não contenha x=0, e em particular podemos afirmar que o conjunto é LI.

Resposta

W(x)=x^4, e o conjunto x^2,,x^3 é linearmente independente.

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