Forneça o Wronskiano do conjunto de funções dadas e use essa informação para classificar tal conjunto como LD ou LI.
Passo 1
Temos o conjunto de funções e . O conteúdo aqui é o Wronskiano e a classificação de dependência linear (LD) ou independência linear (LI). Para resolver, vamos derivar as funções e usar a definição do Wronskiano.
Passo 2
Calculamos as derivadas de primeira ordem de cada função:
Passo 3
Pela definição, o Wronskiano do par é o determinante da matriz cujas linhas são as funções e suas derivadas:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante:
W(x)=x^2cdot3x^2 - x^3cdot2x = 3x^4 - 2x^4 = x^4
Passo 5
Observamos que W(x)=x^4 é zero apenas em x=0 e diferente de zero para xneq0. Pelo critério do Wronskiano, se W(x)neq0 em um intervalo, as funções são linearmente independentes nesse intervalo.
Logo, as funções x^2 e x^3 são linearmente independentes (LI) em qualquer intervalo que não contenha x=0, e em particular podemos afirmar que o conjunto é LI.
Resposta
W(x)=x^4, e o conjunto x^2,,x^3 é linearmente independente.