Uma fábrica produz
milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo de produção é dado por
e a receita obtida na venda é dada por
, determinar o número ótimo de unidades que maximiza o lucro
.
Obs.: Lucro
Receita - Custo, isto é,
.
Obs.: Lucro
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma fábrica que produz
milhares de unidades por mês de um certo produto. O custo de produção é dado por
e a receita obtida na venda é
. Nosso objetivo aqui é encontrar o número ótimo de unidades que vai maximizar o lucro
. Para isso, vamos precisar entender como calcular o lucro a partir da receita e do custo, e usar um pouco de cálculo para encontrar o ponto máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função lucro
. O lucro é o que sobra da receita menos o custo. Então, temos:
Substituindo as funções dadas:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão do lucro. Vamos distribuir o sinal negativo e juntar os termos semelhantes:
Agrupando os termos:
Passo 4
Para encontrar o número de unidades que maximiza o lucro, precisamos encontrar o ponto onde a derivada da função lucro é igual a zero. Basicamente, estamos procurando o ponto onde a inclinação da curva do lucro é zero, indicando um ponto de máximo ou mínimo.
Primeiro, vamos calcular a derivada
:
Calculando termo a termo:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação
para encontrar os pontos críticos:
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por -6:
Agora, vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
:
Assim, temos duas soluções:
Como não faz sentido produzir um número negativo de unidades, descartamos
. Então, a solução é
.
Passo 6
Para garantir que esse ponto é realmente um ponto de máximo, podemos verificar a segunda derivada
:
Substituindo
:
Como
, isso indica que temos um ponto de máximo no
.
Resposta
O número ótimo de unidades que maximiza o lucro é 1 mil unidade por mês.