Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo de produção é dado por C(x)=2 x^{3}+6 x^{2}+18 x+6 e a receita obtida na venda é dada por R(x)=60 x-12 x^{2}, determinar o número ótimo de unidades que maximiza o lucro L.
Obs.: Lucro = Receita - Custo, isto é, L(x)=R(x)-C(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma fábrica que produz x milhares de unidades por mês de um certo produto. O custo de produção é dado por C(x) = 2x^{3} + 6x^{2} + 18x + 6 e a receita obtida na venda é R(x) = 60x - 12x^{2}. Nosso objetivo aqui é encontrar o número ótimo de unidades que vai maximizar o lucro L. Para isso, vamos precisar entender como calcular o lucro a partir da receita e do custo, e usar um pouco de cálculo para encontrar o ponto máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função lucro L(x). O lucro é o que sobra da receita menos o custo. Então, temos:
L(x) = R(x) - C(x)
Substituindo as funções dadas:
L(x) = (60x - 12x^{2}) - (2x^{3} + 6x^{2} + 18x + 6)

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão do lucro. Vamos distribuir o sinal negativo e juntar os termos semelhantes:
L(x) = 60x - 12x^{2} - 2x^{3} - 6x^{2} - 18x - 6
Agrupando os termos:
L(x) = -2x^{3} - 18x^{2} + 42x - 6

Passo 4

Para encontrar o número de unidades que maximiza o lucro, precisamos encontrar o ponto onde a derivada da função lucro é igual a zero. Basicamente, estamos procurando o ponto onde a inclinação da curva do lucro é zero, indicando um ponto de máximo ou mínimo.
Primeiro, vamos calcular a derivada L'(x):
L'(x) = \frac{d}{dx} (-2x^{3} - 18x^{2} + 42x - 6)
Calculando termo a termo:
L'(x) = -6x^{2} - 36x + 42

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação L'(x) = 0 para encontrar os pontos críticos:
-6x^{2} - 36x + 42 = 0
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por -6:
x^{2} + 6x - 7 = 0
Agora, vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}
Onde a = 1, b = 6 e c = -7:
x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}
x = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2}
x = \frac{-6 \pm 8}{2}
Assim, temos duas soluções:
x = \frac{2}{2} = 1
x = \frac{-14}{2} = -7
Como não faz sentido produzir um número negativo de unidades, descartamos x = -7. Então, a solução é x = 1.

Passo 6

Para garantir que esse ponto é realmente um ponto de máximo, podemos verificar a segunda derivada L''(x):
L''(x) = \frac{d}{dx} (-6x^{2} - 36x + 42)
L''(x) = -12x - 36
Substituindo x = 1:
L''(1) = -12(1) - 36 = -48
Como L''(1) < 0, isso indica que temos um ponto de máximo no x = 1.

Resposta

O número ótimo de unidades que maximiza o lucro é 1 mil unidade por mês.

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