Um balão está a 60 m acima do solo e se eleva verticalmente à razão de
. Um automóvel passa por baixo do balão viajando à
. Com que velocidade varia, um segundo depois, a distância entre o balão e o automóvel?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está dizendo. Temos um balão que está a 60 metros acima do chão e está subindo a uma velocidade de 5 metros por segundo. Ao mesmo tempo, um carro passa por baixo do balão, viajando a 12 metros por segundo. A pergunta é: com que velocidade a distância entre o balão e o carro está mudando um segundo depois?
Neste exercício, vamos usar conceitos de cinemática e taxas relacionadas, mais especificamente o teorema de Pitágoras para relacionar as distâncias.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar uma imagem mental da situação. Imagine o chão como uma linha horizontal. O balão está a uma altura de 60 metros e sobe a 5 m/s. O carro está na linha do chão e se move horizontalmente a 12 m/s.
Vamos chamar:
-
de altura do balão em relação ao chão no tempo . -
da posição do carro em relação ao ponto abaixo do balão no tempo . -
da distância entre o balão e o carro no tempo .
Passo 3
Sabemos que:
- Inicialmente,
metros e , já que o balão sobe a 5 m/s. - O carro está se movendo a 12 m/s, então
, considerando que no tempo , o carro está exatamente embaixo do balão.
Passo 4
Queremos encontrar a taxa de variação da distância
, ou seja,
, um segundo depois (
s).
Usaremos o teorema de Pitágoras para relacionar
,
e
:
Passo 5
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo
para encontrar
:
Podemos simplificar dividindo por 2:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores que conhecemos e os valores no tempo
segundo:
-
m -
m -
m/s -
m/s
Primeiro, vamos calcular
:
$$ d(1) = \sqrt{4369} \approx 66.11 ) m
Passo 7
Agora, substituímos na equação derivada:
66.11 \cdot \frac{dd}{dt} = 144 + 325
66.11 \cdot \frac{dd}{dt} = 469 $$]
Passo 8
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A distância entre o balão e o automóvel está aumentando a uma velocidade de aproximadamente 7,09 metros por segundo um segundo depois.