Um balão está a 60 m acima do solo e se eleva verticalmente à razão de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Um automóvel passa por baixo do balão viajando à 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Com que velocidade varia, um segundo depois, a distância entre o balão e o automóvel?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está dizendo. Temos um balão que está a 60 metros acima do chão e está subindo a uma velocidade de 5 metros por segundo. Ao mesmo tempo, um carro passa por baixo do balão, viajando a 12 metros por segundo. A pergunta é: com que velocidade a distância entre o balão e o carro está mudando um segundo depois?
Neste exercício, vamos usar conceitos de cinemática e taxas relacionadas, mais especificamente o teorema de Pitágoras para relacionar as distâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar uma imagem mental da situação. Imagine o chão como uma linha horizontal. O balão está a uma altura de 60 metros e sobe a 5 m/s. O carro está na linha do chão e se move horizontalmente a 12 m/s.
Vamos chamar:
  • y(t) de altura do balão em relação ao chão no tempo t.
  • x(t) da posição do carro em relação ao ponto abaixo do balão no tempo t.
  • d(t) da distância entre o balão e o carro no tempo t.

Passo 3

Sabemos que:
  • Inicialmente, y(0) = 60 metros e y(t) = 60 + 5t, já que o balão sobe a 5 m/s.
  • O carro está se movendo a 12 m/s, então x(t) = 12t, considerando que no tempo t = 0, o carro está exatamente embaixo do balão.

Passo 4

Queremos encontrar a taxa de variação da distância d(t), ou seja, \frac{dd}{dt}, um segundo depois ( t = 1 s).
Usaremos o teorema de Pitágoras para relacionar x(t), y(t) e d(t):
d(t)^2 = x(t)^2 + y(t)^2

Passo 5

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo t para encontrar \frac{dd}{dt}:
2d(t) \cdot \frac{dd}{dt} = 2x(t) \cdot \frac{dx}{dt} + 2y(t) \cdot \frac{dy}{dt}
Podemos simplificar dividindo por 2:
d(t) \cdot \frac{dd}{dt} = x(t) \cdot \frac{dx}{dt} + y(t) \cdot \frac{dy}{dt}

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores que conhecemos e os valores no tempo t = 1 segundo:
  • x(1) = 12 \times 1 = 12 m
  • y(1) = 60 + 5 \times 1 = 65 m
  • \frac{dx}{dt} = 12 m/s
  • \frac{dy}{dt} = 5 m/s
Primeiro, vamos calcular d(1):
d(1)^2 = 12^2 + 65^2 = 144 + 4225 = 4369
$$ d(1) = \sqrt{4369} \approx 66.11 ) m

Passo 7

Agora, substituímos na equação derivada:
66.11 \cdot \frac{dd}{dt} = 12 \cdot 12 + 65 \cdot 5 \[ 66.11 \cdot \frac{dd}{dt} = 144 + 325
66.11 \cdot \frac{dd}{dt} = 469 $$]

Passo 8

Finalmente, isolamos \frac{dd}{dt}:
\frac{dd}{dt} = \frac{469}{66.11} \approx 7.09 \) m/s

Resposta

A distância entre o balão e o automóvel está aumentando a uma velocidade de aproximadamente 7,09 metros por segundo um segundo depois.

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