Uma fábrica produz válvulas. Sabe-se que o desvio padrão da duração é de 100 horas. Uma amostra de 400 válvulas apresentou média de 400 horas:
(a) Qual a probabilidade da vida média estar entre 320 e 430 horas?
(b) Qual o intervalo de confiança de
para a vida média da população?
(c) Interprete o resultado obtido no item anterior.
(d) Tomando-se 20 amostras de tamanho 400 em quantas amostras devemos esperar o resultado obtido em (a)?
(e) Qual o erro cometido na sua estimativa?
(f) Que tamanho deve ter a amostra para que seja
a confiança na estimativa
?
(g) Supondo-se que são produzidas 50.000 válvulas, qual o intervalo de confiança de
para a vida média da população?
(a) Qual a probabilidade da vida média estar entre 320 e 430 horas?
(b) Qual o intervalo de confiança de
(c) Interprete o resultado obtido no item anterior.
(d) Tomando-se 20 amostras de tamanho 400 em quantas amostras devemos esperar o resultado obtido em (a)?
(e) Qual o erro cometido na sua estimativa?
(f) Que tamanho deve ter a amostra para que seja
(g) Supondo-se que são produzidas 50.000 válvulas, qual o intervalo de confiança de
Passo 1
O enunciado trata de inferência para a média de uma população com desvio padrão conhecido
horas. Tomou-se uma amostra de tamanho
que apresentou média amostral
horas. Para resolver, usaremos que, pela Teorema do Limite Central,
com
Passo 2
Calculamos o erro padrão da média amostral:
Passo 3
(a) Queremos
Padronizando,
Como
a probabilidade é essencialmente
.
Passo 4
(b) O intervalo de confiança de
para
é
onde
. Logo
e o intervalo é
Passo 5
(c) Interpretação: se repetíssemos muitas vezes o procedimento de amostragem e construíssemos um intervalo de confiança de
em cada amostra, cerca de
desses intervalos conteriam o verdadeiro valor de
.
Passo 6
(d) Em
amostras de tamanho
, esperamos que em aproximadamente
amostras ocorra
entre
e
horas, pois a probabilidade do evento é praticamente
.
Passo 7
(e) O erro padrão da estimativa de
(isto é, o erro cometido) é
Passo 8
(f) Para que o intervalo
tenha
de confiança, usamos
com
e
. Então
Passo 9
(g) Agora com população finita
e mesma amostra
, aplicamos o fator de correção
Para
de confiança o quantil é
. O erro padrão ajustado é
A margem é
logo o intervalo de
é
Resposta
(a)
.
(b) horas.
(c) Em das repetições do processo de amostragem, o intervalo conterá
.
(d) Em amostras esperamos
vezes esse resultado.
(e) Erro padrão horas.
(f) .
(g) horas.
(b)
(c) Em
(d) Em
(e) Erro padrão
(f)
(g)