Uma fábrica produz válvulas. Sabe-se que o desvio padrão da duração é de 100 horas. Uma amostra de 400 válvulas apresentou média de 400 horas:
(a) Qual a probabilidade da vida média estar entre 320 e 430 horas?
(b) Qual o intervalo de confiança de 99 \% para a vida média da população?
(c) Interprete o resultado obtido no item anterior.
(d) Tomando-se 20 amostras de tamanho 400 em quantas amostras devemos esperar o resultado obtido em (a)?
(e) Qual o erro cometido na sua estimativa?
(f) Que tamanho deve ter a amostra para que seja 95 \% a confiança na estimativa 400 \pm 7,84 ?
(g) Supondo-se que são produzidas 50.000 válvulas, qual o intervalo de confiança de 96 \% para a vida média da população?

Passo 1

O enunciado trata de inferência para a média de uma população com desvio padrão conhecido \sigma=100 horas. Tomou-se uma amostra de tamanho n=400 que apresentou média amostral \bar x=400 horas. Para resolver, usaremos que, pela Teorema do Limite Central,
\bar X\sim N\bigl(\mu,\;\sigma_{\bar X}^2\bigr)
com
\sigma_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt n}.

Passo 2

Calculamos o erro padrão da média amostral:
\sigma_{\bar X} =\frac{100}{\sqrt{400}} =\frac{100}{20} =5\text{ horas}.

Passo 3

(a) Queremos
P\bigl(320\le\bar X\le430\bigr).
Padronizando,
Z_1=\frac{320-400}{5}=-16, \quad Z_2=\frac{430-400}{5}=6.
Como
P(-16\le Z\le6)=\Phi(6)-\Phi(-16)\approx1-0=1,
a probabilidade é essencialmente 1.

Passo 4

(b) O intervalo de confiança de 99\% para \mu é
\bar x\pm z_{0{,}005}\,\sigma_{\bar X},
onde z_{0{,}005}\approx2{,}5758. Logo
\text{margem}=2{,}5758\times5=12{,}879,
e o intervalo é
(400-12{,}879,\;400+12{,}879) =(387{,}121,\;412{,}879)\text{ horas}.

Passo 5

(c) Interpretação: se repetíssemos muitas vezes o procedimento de amostragem e construíssemos um intervalo de confiança de 99\% em cada amostra, cerca de 99\% desses intervalos conteriam o verdadeiro valor de \mu.

Passo 6

(d) Em 20 amostras de tamanho 400, esperamos que em aproximadamente
20\times1=20
amostras ocorra \bar X entre 320 e 430 horas, pois a probabilidade do evento é praticamente 1.

Passo 7

(e) O erro padrão da estimativa de \mu (isto é, o erro cometido) é
\sigma_{\bar X}=5\text{ horas}.

Passo 8

(f) Para que o intervalo
400\pm7{,}84
tenha 95\% de confiança, usamos
n=\Bigl(\frac{z_{0{,}025}\,\sigma}{E}\Bigr)^{2},
com z_{0{,}025}=1{,}96 e E=7{,}84. Então
n=\Bigl(\frac{1{,}96\times100}{7{,}84}\Bigr)^{2} =\Bigl(\frac{196}{7{,}84}\Bigr)^{2} =25^{2} =625.

Passo 9

(g) Agora com população finita N=50000 e mesma amostra n=400, aplicamos o fator de correção
\text{fpc}=\sqrt{\frac{N-n}{N-1}} =\sqrt{\frac{50000-400}{49999}} \approx0{,}9960.
Para 96\% de confiança o quantil é z_{0{,}02}\approx2{,}0537. O erro padrão ajustado é
5\times0{,}9960\approx4{,}980.
A margem é
2{,}0537\times4{,}980\approx10{,}23,
logo o intervalo de 96\% é
(400-10{,}23,\;400+10{,}23) \approx(389{,}77,\;410{,}23)\text{ horas}.

Resposta

(a) P\bigl(320\le\bar X\le430\bigr)\approx1.
(b) 99\%\text{ CI }=(387{,}121,\;412{,}879) horas.
(c) Em 99\% das repetições do processo de amostragem, o intervalo conterá \mu.
(d) Em 20 amostras esperamos 20 vezes esse resultado.
(e) Erro padrão \sigma_{\bar X}=5 horas.
(f) n=625.
(g) 96\%\text{ CI }=(389{,}77,\;410{,}23) horas.

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