Calcule o intervalo de confiança para a média em cada um dos casos abaixo:
Média
amostral
Tamanho da
amostra
Desvio
padrão da
população
Coeficiente
de confiança
170 cm 100 15 cm 95 \%
165 cm 184 30 cm 85 \%
180 cm 225 30 cm 70 \%

Passo 1

O enunciado pede para calcular o intervalo de confiança para a média populacional nos três casos em que conhecemos o desvio-padrão da população. O conteúdo aplicado é o intervalo de confiança para a média com variância populacional conhecida, usando a distribuição normal.

Passo 2

Quando o desvio-padrão da população \sigma é conhecido, o intervalo de confiança de nível 1-\alpha para a média \mu é dado por
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde \bar{x} é a média amostral, n é o tamanho da amostra e z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que
P\bigl(Z>z_{\alpha/2}\bigr)=\frac{\alpha}{2}.

Passo 3

Caso 1: \bar{x}=170, n=100, \sigma=15, confiança de 95\% \Rightarrow \alpha=0,05, \alpha/2=0,025.
Dessa forma
z_{0,025}=1,96,
E=1,96\cdot\frac{15}{\sqrt{100}}=1,96\cdot\frac{15}{10}=1,96\cdot1,5=2,94.
Intervalo de confiança:
170\pm2,94\;\Rightarrow\;(170-2,94,\;170+2,94)=(167,06,\;172,94).

Passo 4

Caso 2: \bar{x}=165, n=184, \sigma=30, confiança de 85\% \Rightarrow \alpha=0,15, \alpha/2=0,075.
Do livro de valores críticos:
z_{0,075}\approx1,44,
E=1,44\cdot\frac{30}{\sqrt{184}}\approx1,44\cdot\frac{30}{13,56}\approx1,44\cdot2,21\approx3,18.
Intervalo de confiança:
165\pm3,18\;\Rightarrow\;(165-3,18,\;165+3,18)=(161,82,\;168,18).

Passo 5

Caso 3: \bar{x}=180, n=225, \sigma=30, confiança de 70\% \Rightarrow \alpha=0,30, \alpha/2=0,15.
Do livro de valores críticos:
z_{0,15}\approx1,04,
E=1,04\cdot\frac{30}{\sqrt{225}}=1,04\cdot\frac{30}{15}=1,04\cdot2=2,08.
Intervalo de confiança:
180\pm2,08\;\Rightarrow\;(180-2,08,\;180+2,08)=(177,92,\;182,08).

Resposta

Intervalos de confiança:
( 1) 167,06\le\mu\le172,94 para 95\%.
( 2) 161,82\le\mu\le168,18 para 85\%.
( 3) 177,92\le\mu\le182,08 para 70\%.

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