Com o objetivo de estimar o tempo médio de desemprego na periferia de Brasília, pesquisou-se um grupo de 64 desempregados entre 1000 cadastrados no SINE, que apresentou tempo médio igual a 3 meses e desvio padrão de 1 mês. (Dados Fictícios.)
a) Construa o intervalo de 95 \% de confiança para o tempo médio de desemprego.
b) Um intervalo de 99 \% de confiança construído para a mesma situação, apresentaria menor amplitude?
c) Qual o erro de amostragem associado ao intervalo construído?
d) Se o desvio padrão fosse 2, o erro de amostragem seria maior que o do item c ?
e) Se a amostra fosse aumentada de 26 empregados, o que aconteceria com intervalo de confiança ?

Passo 1

O enunciado trata de construir intervalos de confiança para a média do tempo de desemprego usando uma amostra de n=64 desempregados, com \bar x=3 meses e s=1 mês. O que precisamos: usar a distribuição normal (CLT, pois n\ge30), calcular o erro de amostragem E e comparar cenários de nível de confiança, de desvio padrão e de tamanho de amostra.

Passo 2

Para o intervalo de confiança de 95\% usamos o quantil
z_{0,025}=1,96
e calculamos o erro de amostragem
E = z_{0,025}\,\frac{s}{\sqrt{n}}
E = 1,96 \cdot \frac{1}{\sqrt{64}}
E = 1,96 \cdot \frac{1}{8} = 0,245
Logo o intervalo de 95\% fica
[\,\bar x - E,\;\bar x + E\,] = [\,3 - 0,245,\;3 + 0,245\,] = [\,2,755,\;3,245\,].

Passo 3

Para 99\% de confiança o quantil é aproximadamente
z_{0,005}\approx 2,575
o que gera
E_{99} = 2,575 \cdot \frac{1}{8} \approx 0,322,
e amplitude 2E_{99}\approx0,644, maior que 2E_{95}=0,49. Portanto, o intervalo de 99\% tem maior amplitude.

Passo 4

O erro de amostragem associado ao IC de 95\% é justamente
E = 0,245\text{ meses}.

Passo 5

Se o desvio padrão fosse s=2, teríamos
E' = 1,96 \cdot \frac{2}{\sqrt{64}} = 1,96 \cdot \frac{2}{8} = 0,49\text{ meses},
que é maior que 0,245. Logo o erro de amostragem seria maior.

Passo 6

Aumentando a amostra para n=64+26=90, o erro cai para
E_{90} = 1,96 \cdot \frac{1}{\sqrt{90}} \approx 1,96 \cdot 0,1054 \approx 0,2066,
ou seja, o intervalo de confiança ficaria mais estreito (menor amplitude).

Resposta

(a) [2,755,\;3,245] meses.
(b) Não, o intervalo de 99\% teria maior amplitude.
(c) 0,245 meses.
(d) Sim. O erro seria 0,49 meses, maior que no item (c).
(e) O intervalo ficaria mais estreito, ou seja, com amplitude menor.

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