Uma equipe de pesquisadores deseja estudar as condições de vida dos habitantes dos 15000
domicílios de uma cidade-dormitório. Devido a dificuldade de pesquisar todos os domicílios, a equipe optou por selecionar aleatoriamente 36 domicílios. Uma das variáveis de interesse, no estudo em questão, era o número de pessoas que residem em cada domicílio. Para os domicílios selecionados, obteve-se as seguintes informações sobre o número de residentes em cada domicílio:
5 6 3 3 2 3 3 3 4
4 3 2 7 4 3 4 2 1
5 4 4 3 3 4 3 3 1
2 4 3 4 2 4 5 3 5
a) Os pesquisadores desejam saber o número médio de pessoas que residem em cada domicílio. Como eles podem utilizar as informações obtidas para estimar este valor ? Determine a estimativa.
b) Qual o estimador utilizado e sua distribuição de amostragem ? É necessário que a variável número de residentes em cada domicílio tenha distribuição normal? Justifique sua resposta.
c) Considerando que, pelo último censo, o número médio de pessoas em cada domicílio é 5 com variância 12,96 determine:
i) \mathrm{P}(\overline{\mathrm{X}}>4)
ii ) \mathrm{P}(\mathrm{X} \leq 6,5)
iii) \mathrm{P}(\overline{\mathrm{X}}=2)
iv) \mathrm{P}(3,5<\mathrm{X} \leq 5)
d) Estime o número médio de residentes por domicílio através de um intervalo de confiança de:
i) 90 \%
ii ) 95 \%
iiii ) 99 \%
Compare a amplitude dos intervalos e interprete o resultado.
e) Construa o intervalo de 95 \% de confiança para o parâmetro em questão considerando que a variância do número de residentes por domicílio permaneceu a mesma do último censo.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória simples de tamanho n=36 dos números de residentes por domicílio em uma cidade-dormitório, totalizando 36 valores, e pergunta:
  • (a) como estimar a média populacional \mu;
  • (b) qual o estimador e sua distribuição de amostragem, e se é preciso supor normalidade em X;
  • (c) usando \mu=5 e \sigma^2=12{,}96, calcular várias probabilidades;
  • (d) construir intervalos de confiança para \mu a 90\%, 95\% e 99\% usando a amostra;
  • (e) construir intervalo de 95\% supondo \sigma^2 conhecida igual a 12{,}96.

Passo 2

Para estimar a média populacional usamos a média amostral
\bar X \;=\;\frac{1}{36}\sum_{i=1}^{36}x_i
Somando os 36 valores obtemos \sum x_i=124, logo
\bar X \;=\;\frac{124}{36}\approx 3{,}444.

Passo 3

O estimador da média é \bar X. Sejam X_1,\dots,X_n independentes com \mathbb{E}[X_i]=\mu e \mathrm{Var}(X_i)=\sigma^2. Então
\mathbb{E}[\bar X]=\mu,\quad \mathrm{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}.
Pela hipótese de normalidade em X, \bar X segue exatamente
\bar X\sim N\Bigl(\mu,\;\frac{\sigma^2}{n}\Bigr).
Se X não for normal, pelo Teorema Central do Limite, para n=36 a distribuição de \bar X é aproximadamente normal, então não é preciso supor normalidade exata em X.

Passo 4

Adotando \mu=5, \sigma=\sqrt{12{,}96}=3{,}6 e n=36:
i)
\mathrm{P}(\bar X>4) =1-\Phi\!\Bigl(\frac{4-5}{3{,}6/\sqrt{36}}\Bigr) =1-\Phi\!\bigl(-1{,}6667\bigr) =\Phi(1{,}6667)\approx0{,}9525.
ii)
\mathrm{P}(X\le6{,}5) =\Phi\!\Bigl(\frac{6{,}5-5}{3{,}6}\Bigr) =\Phi(0{,}4167)\approx0{,}661.
iii) Para variável contínua normal,
\mathrm{P}(\bar X=2)=0.
iv)
\mathrm{P}(3{,}5< X\le5) =\Phi\!\Bigl(\frac{5-5}{3{,}6}\Bigr) -\Phi\!\Bigl(\frac{3{,}5-5}{3{,}6}\Bigr) = \Phi(0)-\Phi(-0{,}4167) =0{,}5-\bigl(1-\Phi(0{,}4167)\bigr) \approx0{,}161.

Passo 5

Da amostra calculamos a variância amostral
s^2 =\frac{\sum x_i^2 - n\,\bar X^2}{n-1} \approx1{,}6413, \quad s\approx1{,}281.
O erro padrão é
\mathrm{EP}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{1{,}281}{6}\approx0{,}2135.
Para nível de confiança 1-\alpha usamos \bar X\pm z_{\alpha/2}\,\mathrm{EP}.
  • 90\%: z_{0{,}05}=1{,}645 3{,}444\pm1{,}645\,(0{,}2135) \;\to\; [3{,}093,\;3{,}795].
  • 95\%: z_{0{,}025}=1{,}96 3{,}444\pm1{,}96\,(0{,}2135) \;\to\; [3{,}026,\;3{,}863].
  • 99\%: z_{0{,}005}=2{,}576 3{,}444\pm2{,}576\,(0{,}2135) \;\to\; [2{,}896,\;3{,}993].
À medida que o nível de confiança cresce, a amplitude do intervalo aumenta.

Passo 6

Se mantivermos \sigma^2=12{,}96 conhecida, para 95\% usamos z_{0,025}=1{,}96 e erro padrão \sigma/\sqrt{n}=3{,}6/6=0{,}6:
3{,}444\pm1{,}96\,(0{,}6) \;\to\; [2{,}268,\;4{,}620].

Resposta

a) \displaystyle \hat\mu=\bar X=\frac{124}{36}\approx3{,}444.
b) Estimador \bar X, com \bar X\sim N(\mu,\sigma^2/n) (exato se X normal, aproximado por TCL para n=36); não é preciso supor normalidade exata.
c)i) \approx0{,}9525.
c)ii) \approx0{,}661.
c)iii) 0.
c)iv) \approx0{,}161.
d) 90\%: [3{,}093,3{,}795]; 95\%: [3{,}026,3{,}863]; 99\%: [2{,}896,3{,}993].
e) Com \sigma^2 conhecida, 95\%: [2{,}268,4{,}620].

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