Uma fábrica produz e vende peças para as grandes montadoras de veículos. O custo da produção mensal dessas peças é dado através da função C = 6000 + 14x, onde x é o número de peças produzidas por mês. Cada peça é vendida por R$ 54,00. Hoje, o lucro mensal dessa fábrica é de R$ 6.000,00.Para triplicar esse lucro, a fábrica deverá produzir e vender mensalmente:a) o triplo do que produz e vende.b) 200 unidades a mais do que produz e vende.c) 50% a mais do que produz e vende.d) o dobro do que produz e vende.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma fábrica que produz peças para montadoras de veículos. O custo de produção por mês é dado pela função $ C = 6000 + 14x $, onde $ x $ é o número de peças produzidas. Cada peça é vendida por R$54,00 e o lucro atual é de R$6.000,00 por mês. A pergunta quer saber como triplicar esse lucro: se a fábrica deve produzir e vender o triplo, aumentar em 200 unidades, aumentar 50%, ou dobrar a produção. Vamos usar conhecimentos de funções de custo, receita e lucro para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções envolvidas. A função de custo total é $ C = 6000 + 14x $. Aqui, 6000 é o custo fixo (independente da quantidade produzida) e 14x é o custo variável (depende da quantidade produzida).
A receita total $ R $ é o que a fábrica ganha vendendo as peças. Como cada peça é vendida por R$54,00, a receita é:
O lucro $ L $ é a diferença entre a receita e o custo:
Passo 3
Sabemos que o lucro atual é de R$6.000,00. Vamos usar isso para encontrar o número atual de peças produzidas e vendidas:
Então, atualmente são produzidas e vendidas 300 peças por mês.
Passo 4
Queremos triplicar esse lucro. O lucro triplicado será:
Então, o novo lucro desejado é de R$18.000,00.
Passo 5
Vamos usar a função do lucro para encontrar quantas peças precisamos produzir e vender para obter esse lucro:
Portanto, para ter um lucro de R$18.000,00, a fábrica precisa produzir e vender 600 peças por mês.
Passo 6
Agora vamos ver qual das opções corresponde a esse aumento:
- Produção atual: 300 peças
- Nova produção: 600 peças
Comparando:
- Triplo do que produz: $ 300 \times 3 = 900 $ (não é o caso)
- 200 unidades a mais: $ 300 + 200 = 500 $ (não)
- 50% a mais: $ 300 \times 1,5 = 450 $ (não)
- O dobro do que produz: $ 300 \times 2 = 600 $ (sim!)
Resposta
d) o dobro do que produz e vende.