Uma fábrica produz e vende peças para as grandes montadoras de veículos. O custo da produção mensal dessas peças é dado através da função C = 6000 + 14x, onde x é o número de peças produzidas por mês. Cada peça é vendida por R$ 54,00. Hoje, o lucro mensal dessa fábrica é de R$ 6.000,00.Para triplicar esse lucro, a fábrica deverá produzir e vender mensalmente:a) o triplo do que produz e vende.b) 200 unidades a mais do que produz e vende.c) 50% a mais do que produz e vende.d) o dobro do que produz e vende.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma fábrica que produz peças para montadoras de veículos. O custo de produção por mês é dado pela função $ C = 6000 + 14x $, onde $ x $ é o número de peças produzidas. Cada peça é vendida por R$54,00 e o lucro atual é de R$6.000,00 por mês. A pergunta quer saber como triplicar esse lucro: se a fábrica deve produzir e vender o triplo, aumentar em 200 unidades, aumentar 50%, ou dobrar a produção. Vamos usar conhecimentos de funções de custo, receita e lucro para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções envolvidas. A função de custo total é $ C = 6000 + 14x $. Aqui, 6000 é o custo fixo (independente da quantidade produzida) e 14x é o custo variável (depende da quantidade produzida).
A receita total $ R $ é o que a fábrica ganha vendendo as peças. Como cada peça é vendida por R$54,00, a receita é:
C = 6000 + 14x
O lucro $ L $ é a diferença entre a receita e o custo:
R
54,00, a receita é:
R = 54x
O lucro

Passo 3

Sabemos que o lucro atual é de R$6.000,00. Vamos usar isso para encontrar o número atual de peças produzidas e vendidas:
6.000,00 Vamos usar isso para encontrar o número atual de peças produzidas e vendidas:
40x - 6000 = 6000
40x = 6000 + 6000

Então, atualmente são produzidas e vendidas 300 peças por mês.

Passo 4

Queremos triplicar esse lucro. O lucro triplicado será:
3 times 6000 = 18000
Então, o novo lucro desejado é de R$18.000,00.

Passo 5

Vamos usar a função do lucro para encontrar quantas peças precisamos produzir e vender para obter esse lucro:
40x - 6000 = 18000
40x = 18000 + 6000
40x = 24000
x = 2400040
x = 600
Portanto, para ter um lucro de R$18.000,00, a fábrica precisa produzir e vender 600 peças por mês.

Passo 6

Agora vamos ver qual das opções corresponde a esse aumento:
  • Produção atual: 300 peças
  • Nova produção: 600 peças
Comparando:
  • Triplo do que produz: $ 300 \times 3 = 900 $ (não é o caso)
  • 200 unidades a mais: $ 300 + 200 = 500 $ (não)
  • 50% a mais: $ 300 \times 1,5 = 450 $ (não)
  • O dobro do que produz: $ 300 \times 2 = 600 $ (sim!)

Resposta

d) o dobro do que produz e vende.

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