Uma fábrica que recebe uma tensão de 1000 V em 60 Hz possui as seguintes cargas:
  • 20 kW de aquecimento puramente resistivo.
  • 10 kW de motores de indução com fator de potência igual a 0,7 .
  • 5 kW de iluminação com fator de potência igual a 0,85 em atraso.
    a. Determine o triângulo de potências total da fábrica.
    b. Qual a capacitância necessária para corrigir o fator de potência da fábrica para 0,97 em atraso?
    c. Calcule e compare os valores da corrente elétrica consumida pela fábrica antes e após a correção do fator de potência.

Passo 1

O enunciado pede:
– (a) o triângulo de potências total da fábrica (potência ativa P, reativa Q e aparente S, mais fator de potência e ângulo).
– (b) a capacitância necessária para corrigir o fator de potência para 0,97 (atraso).
– (c) as correntes antes e após a correção.
Conteúdo: soma de potências ativas, cálculo de potências reativas a partir de fator de potência \tan\varphi, triângulo de potências, correção de fator de potência com banco de capacitores Q_c, corrente em sistema trifásico equilibrado I=S/(\sqrt3\,V).

Passo 2

Calcular a potência ativa total:
P_{\rm tot} = 20 + 10 + 5 = 35\\ \text{kW}.

Passo 3

Calcular as potências reativas das cargas indutivas:
Para os motores P_m=10\\ \text{kW}, \mathrm{pf}_m=0,7:
\tan\varphi_m = \frac{\sqrt{1-0{,}7^2}}{0{,}7}\approx1{,}02,\quad Q_m = P_m\,\tan\varphi_m \approx 10\times1{,}02 = 10{,}2\\ \text{kVAr}.
Para a iluminação P_\ell=5\\ \text{kW}, \mathrm{pf}_\ell=0,85:
\tan\varphi_\ell = \frac{\sqrt{1-0{,}85^2}}{0{,}85}\approx0{,}62,\quad Q_\ell = P_\ell\,\tan\varphi_\ell \approx 5\times0{,}62 = 3{,}10\\ \text{kVAr}.
Como o aquecimento é puramente resistivo Q_h=0,
Q_{\rm tot} = Q_m + Q_\ell = 10{,}2 + 3{,}10 = 13{,}3\\ \text{kVAr}.

Passo 4

Calcular a potência aparente e o fator de potência atual:
S_{\rm tot} = \sqrt{P_{\rm tot}^2 + Q_{\rm tot}^2} = \sqrt{35^2 + 13{,}3^2} \approx 37{,}44\\ \text{kVA},
\mathrm{pf}_{\rm atual} = \frac{P_{\rm tot}}{S_{\rm tot}} \approx \frac{35}{37{,}44} = 0{,}935, \quad \varphi_{\rm atual} = \operatorname{arccos}(0{,}935)\approx20{,}6^\circ.

Passo 5

Determinar a reativo necessário para corrigir a \mathrm{pf}=0{,}97:
Ângulo novo: \varphi_{\rm novo}=\operatorname{arccos}(0{,}97)\approx14{,}1^\circ.
Q_{\rm novo} = P_{\rm tot}\,\tan\varphi_{\rm novo} = 35\times\tan(14{,}1^\circ)\approx 35\times0{,}25 = 8{,}75\\ \text{kVAr}.
Capacidade reativa a compensar:
Q_c = Q_{\rm tot} - Q_{\rm novo} = 13{,}3 - 8{,}75 = 4{,}55\\ \text{kVAr}.

Passo 6

Calcular a capacitância total (sistema trifásico equilibrado em estrela, V_L=1000\\ \text{V}, f=60\\ \text{Hz}):
\omega = 2\pi f = 2\pi\times60 \approx 377\\ \mathrm{rad/s}, \quad V_{\rm f} = \frac{V_L}{\sqrt3} \approx 577{,}35\\ \text{V}.
Em estrela, Q_c = 3\,\omega\,C\,V_{\rm f}^2, logo
C = \frac{Q_c}{3\,\omega\,V_{\rm f}^2} = \frac{4{,}55\times10^3}{3\times377\times(577{,}35)^2} \approx 1,21\times10^{-5}\\ \text{F} = 12,1\\ \mu\text{F}\\ (\text{por fase}).

Passo 7

Calcular as correntes antes e após a correção (trifásico equilibrado):
I_{\rm antes} = \frac{S_{\rm tot}}{\sqrt3\,V_L} = \frac{37{,}44\times10^3}{\sqrt3\times1000} \approx21{,}6\\ \text{A},
S_{\rm corr} = \frac{P_{\rm tot}}{0{,}97}\approx 36{,}08\\ \text{kVA}, \quad I_{\rm depois} = \frac{36{,}08\times10^3}{\sqrt3\times1000} \approx20{,}8\\ \text{A}.

Resposta

(a) P_{\rm tot}=35\\ \text{kW}, Q_{\rm tot}=13{,}3\\ \text{kVAr}, \,S_{\rm tot}\approx37{,}44\\ \text{kVA}, \mathrm{pf}=0{,}935 (atraso), \varphi\approx20{,}6^\circ.
(b) Q_c\approx4{,}55\\ \text{kVAr}; capacitância C\approx12{,}1\\ \mu\text{F} por fase (estrela).
(c) I_{\rm antes}\approx21{,}6\\ \text{A}, I_{\rm depois}\approx20{,}8\\ \text{A}.

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