Use série para aproximar a integral definida com a precisão indicada.
integral0^0,2[tg^-1(x^3)+sen(x^3)] d x (3 casas)

Passo 1

O problema pede para aproximar
I = integral0^0,2l[arctan(x^3)+sin(x^3)r],dx
com precisão de três casas decimais, usando séries de Taylor de arctan(u) e sin(u) e integrando termo a termo.

Passo 2

As expansões em série para lvert urvert pequeno são
arctan(u)=sumn=0^infty(-1)^nu^2n+12n+1, sin(u)=sumn=0^infty(-1)^nu^2n+1(2n+1)!
Substituindo u=x^3, obtemos
arctan(x^3)+sin(x^3) =sumn=0^infty(-1)^nl[x^6n+32n+1+x^6n+3(2n+1)!r] =sumn=0^inftyan,x^6n+3,
onde an=(-1)^nl[tfrac12n+1+tfrac1(2n+1)!r].
Integrando de 0 a 0,2 termo a termo:
I =sumn=0^inftyanintegral0^0,2x^6n+3,dx =sumn=0^inftyan,(0,2)^6n+46n+4

Passo 3

Calculamos os dois primeiros termos e estimamos o resto.
Para n=0:
a0=(-1)^0l[1+tfrac11!r]=2, integral0^0,2x^3,dx=(0,2)^44=0,00164=0,0004,
logo o termo n=0 é
T0=2times0,0004=0,0008
Para n=1:
a1=(-1)^1l[tfrac13+tfrac13!r] =-l(tfrac13+tfrac16r)=-tfrac12,
integral0^0,2x^9,dx=(0,2)^1010 =(0,2^5)^210 =(0,00032)^210approx1,024times10^-8,
logo
T1approx-tfrac12times1,024times10^-8 approx-5,12times10^-9
Esse segundo termo já é da ordem 10^-8, muito menor que a precisão 10^-3. Todos os demais n>=2 são ainda menores.

Passo 4

Somando os dois primeiros termos temos
Iapprox T0+T1=0,0008-0,00000000512approx0,000799995
Arredondando para três casas decimais, obtemos
Iapprox0,001

Resposta

0,001

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