A fábrica X produz 8 tipos de bombons que são vendidos em caixas de 30 bombons (de um mesmo tipo ou sortido). Quantas caixas diferentes podem ser formadas?

Passo 1

O enunciado diz que há 8 tipos de bombons e que cada caixa contém 30 bombons, podendo ser todos do mesmo tipo ou sortidos. Precisamos contar de quantas maneiras podemos escolher quantidades não negativas de cada tipo de bombom de modo que o total seja 30. O conteúdo aqui é o problema de “combinações com repetição” (ou “estrelas e barras”).

Passo 2

Seja x_i o número de bombons do tipo i que entram na caixa, para i=1,2,\dots,8. Então queremos as soluções inteiras não negativas de
\sum_{i=1}^{8} x_i = 30,\quad x_i\ge0.

Passo 3

Pelo método de estrelas e barras, o número de soluções de \sum_{i=1}^k x_i = n com x_i\ge0 é
\binom{n+k-1}{k-1}.
Aqui n=30 e k=8, logo o total é
\binom{30+8-1}{8-1} = \binom{37}{7}.

Passo 4

Calculamos o binomial:
\binom{37}{7} = \frac{37!}{7!\,30!} = 10295472.

Resposta

10295472

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