Problema 10

Quantos números inteiros entre 1 e 100000 têm a soma dos algarismos igual a 6?

Problema 11

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de inteiros entre 1 e 100000 cuja soma dos algarismos é igual a 6. Para tratar todos de forma uniforme, vamos representar cada número como um vetor de 5 dígitos (com zeros à esquerda se necessário), de modo que o problema vire um conto de “estrelas e barras” (combinatória de partições).

Passo 2

Seja (d_1,d_2,d_3,d_4,d_5) a sequência de dígitos de um número qualquer entre 0 e 99999 (explicitando zeros à esquerda). A condição de soma dos algarismos igual a 6 fica:
d_1 + d_2 + d_3 + d_4 + d_5 = 6,
com 0 \le d_i \le 9.

Passo 3

Como o total a repartir é 6 e cada d_i admite no máximo 9, essa restrição superior não entra em cena (nenhum dígito pode ultrapassar 6). O número de soluções não negativas de
d_1 + d_2 + d_3 + d_4 + d_5 = 6
é dado por estrelas e barras:
\binom{6 + 5 - 1}{5 - 1} = \binom{10}{4} = 210.

Resposta

210

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