Qual é o número máximo de termos de um polinômio de grau p com n variáveis?

Passo 1

O enunciado pede o número máximo de termos (ou monômios distintos) que um polinômio em n variáveis pode ter, quando seu grau total é p. Vamos usar contagem combinatória de monômios.

Passo 2

Um monômio geral em n variáveis tem a forma
x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}
onde os expoentes \,k_{1},k_{2},\dots,k_{n}\, são inteiros não negativos. O grau total do monômio é
k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{n}.
Para que o polinômio tenha grau até p, precisamos contar todas as soluções não negativas de
k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{n}\le p.

Passo 3

Para usar o método de “estrelas e barras” (combinações com repetição), convertemos a desigualdade em uma igualdade introduzindo uma variável auxiliar k_{n+1}\ge0 tal que
k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{n}+k_{n+1}=p.
Assim contamos todas as soluções não negativas dessa soma exata.

Passo 4

O número de soluções não negativas da equação
k_{1}+\cdots+k_{n+1}=p
é dado pela combinação com repetição
\binom{(n+1)+p-1}{p} \;=\;\binom{n+p}{p}.

Passo 5

Como cada solução corresponde a um monômio distinto de grau até p, o número máximo de termos do polinômio é
\binom{n+p}{p}.

Resposta

\displaystyle \binom{n + p}{p}

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