Qual é o número máximo de termos de um polinômio de grau
com
variáveis?
Passo 1
O enunciado pede o número máximo de termos (ou monômios distintos) que um polinômio em
variáveis pode ter, quando seu grau total é
. Vamos usar contagem combinatória de monômios.
Passo 2
Um monômio geral em
variáveis tem a forma
onde os expoentes
são inteiros não negativos. O grau total do monômio é
Para que o polinômio tenha grau até
, precisamos contar todas as soluções não negativas de
Passo 3
Para usar o método de “estrelas e barras” (combinações com repetição), convertemos a desigualdade em uma igualdade introduzindo uma variável auxiliar
tal que
Assim contamos todas as soluções não negativas dessa soma exata.
Passo 4
O número de soluções não negativas da equação
é dado pela combinação com repetição
Passo 5
Como cada solução corresponde a um monômio distinto de grau até
, o número máximo de termos do polinômio é