Qual é o número máximo de termos de um polinômio homogêneo de grau p \operatorname{com} n variáveis?

Passo 1

O enunciado pede o número máximo de termos (monômios) em um polinômio homogêneo de grau p em n variáveis. Cada termo é da forma
x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}
com k_1+\cdots+k_n=p. Vamos contar quantas tuplas não negativas (k_1,\dots,k_n) satisfazem essa soma.

Passo 2

Modelamos o problema como: quantas soluções em inteiros não negativos tem
k_1 + k_2 + \cdots + k_n = p.
Cada solução corresponde a um monômio distinto de grau p.

Passo 3

Pelo princípio de estrelas e barras (ou combinação com repetição), o número de soluções dessa equação é dado por
\binom{(n-1)+p}{p},
porque estamos distribuindo p “estrelas” em n “caixas” separadas por n-1 “barras”.

Resposta

\binom{n+p-1}{p}.

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