Na fabricação de um doce de fruta, misturam-se à temperatura ambiente 500 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de uma fruta ( 11 \% de sólidos) com 500 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de açúcar e 10 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de pectina em um tanque com tempo de residência de 12 minutos. A mistura obtida ( \mathrm{Cp}=3,4 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} .{ }^{0} \mathrm{C} ) segue para um evaporador para que se obtenha um doce com 75 \% de sólidos. Sabendo-se que o vapor está a 120^{0} \mathrm{C}, dimensione os dois equipamentos e encontre todas as correntes de processo.
Dados: calor latente de vaporização da água a 100^{\circ} \mathrm{C}: 2250 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg};
calor latente de condensação do vapor a 120^{0} \mathrm{C}: 2202 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg};
coeficiente global de transferência de calor do evaporador: 1100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}.

Passo 1

O enunciado pede que eu dimensione dois equipamentos (tanque de mistura com tempo de residência e evaporador) e que encontre todas as correntes do processo. Dados e informações fornecidas (vou listar exatamente o que foi dado):
\begin{aligned} &\text{Fruta: }500\\ \mathrm{kg/h}\\ (\text{com }11\%\\ \text{sólidos})\\\ &\text{Açúcar: }500\\ \mathrm{kg/h}\\ (\text{assumimos praticamente }100\%\\ \text{sólidos})\\\ &\text{Pectina: }10\\ \mathrm{kg/h}\\ (\text{assumimos como sólido})\\\ &\text{Tempo de residência do tanque: }12\\ \text{minutos}\\\ &\text{Mistura: }C_p=3,4\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot{}^\circ C)}\\\ &\text{Produto final: }75\%\\ \text{sólidos (em massa)}\\\ &\text{Vapor (steam) de aquecimento: }T_s=120^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{Calor latente vaporização da água a }100^\circ\mathrm{C}:\\ L_{v,100}=2250\\ \mathrm{kJ/kg}\\\ &\text{Calor latente de condensação do vapor a }120^\circ\mathrm{C}:\\ L_{c,120}=2202\\ \mathrm{kJ/kg}\\\ &\text{Coeficiente global de troca térmica do evaporador: }U=1100\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} \end{aligned}óçúóóêóçãáçãé
Observações/assunções necessárias (não havia valor numérico explícito no enunciado, então explico e assumo):
  • Vou assumir temperatura ambiente inicial da mistura T_{in}=25^\circ\mathrm{C} (comum em problemas industriais quando se diz “temperatura ambiente”).
  • Vou assumir que o ponto de ebulição da solução no evaporador é aproximadamente 100^\circ\mathrm{C} (evaporador simples a pressão atmosférica).
  • Vou assumir densidade da mistura para o tanque \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} (é razoável para soluções ricas em água; simplifica dimensionamento).
    Nada mais será pedido ao usuário — avanço com essas hipóteses explícitas.

Passo 2

Balanço de massa simples para calcular sólidos totais, água inicial, vazões de produto e água evaporada. Explico passo a passo:
  1. Calcular a massa de sólidos em cada corrente:
\begin{aligned} &\text{Sólidos da fruta} = 500\cdot 0{,}11 = 55\\ \mathrm{kg/h},\\\ &\text{Sólidos do açúcar} = 500\\ \mathrm{kg/h},\\\ &\text{Sólidos da pectina} = 10\\ \mathrm{kg/h}. \end{aligned}óóçúó
Total de sólidos fedidos:
\text{Sólidos}_{tot} = 55 + 500 + 10 = 565\\ \mathrm{kg/h}.ó
  1. Água inicial presente no sistema: a fruta tem água, açúcar e pectina os tratei como sólidos secos, logo
\text{Água}_{in} = \text{massa fruta} - \text{sólidos fruta} = 500 - 55 = 445\\ \mathrm{kg/h}.Áó
  1. No evaporador os sólidos não se perdem (assumimos sem perda). Produto final tem 75\% de sólidos; logo a vazão de produto (massa total) é:
\dot{m}_{prod} = \frac{\text{Sólidos}_{tot}}{0{,}75} = \frac{565}{0{,}75} = 753{,}333\\ \mathrm{kg/h}.ó
  1. Assim água no produto:
\text{Água}_{prod} = \dot{m}_{prod} - \text{Sólidos}_{tot} = 753{,}333 - 565 = 188{,}333\\ \mathrm{kg/h}.Áó
  1. Água evaporada:
\dot{m}_{evap} = \text{Água}_{in} - \text{Água}_{prod} = 445 - 188{,}333 = 256{,}667\\ \mathrm{kg/h}.ÁÁ
Resumo (valores guardados para próximos passos):
\text{Sólidos}_{tot}=565\\ \mathrm{kg/h},\\ \dot{m}_{prod}=753{,}333\\ \mathrm{kg/h},\\ \dot{m}_{evap}=256{,}667\\ \mathrm{kg/h}.ó

Passo 3

Dimensionamento do tanque (tempo de residência = 12 minutos). Método: massa dentro do tanque = \dot{m}_{feed}\cdot \tau. Explico conversões e cálculo:
  1. Vazão total de alimentação (antes do tanque é a mistura dos três insumos):
\dot{m}_{feed} = 500 + 500 + 10 = 1010\\ \mathrm{kg/h}.
  1. Tempo de residência \tau=12\\ \text{min} = 12/60 = 0{,}2\\ \mathrm{h}. Massa no tanque:
m_{tanque} = \dot{m}_{feed}\cdot\tau = 1010\cdot 0{,}2 = 202\\ \mathrm{kg}.
  1. Convertendo para volume com a suposição \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}:
V_{tanque} = \frac{m_{tanque}}{\rho} = \frac{202}{1000} = 0{,}202\\ \mathrm{m^3} = 202\\ \mathrm{L}.
Interpretação: o tanque precisa de volume interno útil de aproximadamente 0{,}202\\ \mathrm{m^3} (ou 202\\ \mathrm{L}) para garantir 12 minutos de residência com a vazão dada.

Passo 4

Balanço de energia no evaporador — calcular a demanda térmica Q. Explico física: o evaporador fornece calor para (a) aquecer toda a massa da alimentação de T_{in} até a temperatura de ebulição T_b (calor sensível) e (b) fornecer o calor latente necessário para vaporizar \dot{m}_{evap} de água. Fórmula geral:
Q = m_{tot}\,C_p\,(T_b - T_{in}) + \dot{m}_{evap}\,L_{v,100}.
Substituindo e explicando unidades:
  • m_{tot}=1010\\ \mathrm{kg/h} (toda a mistura é aquecida), C_p=3{,}4\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot{}^\circ C)},
  • T_b=100^\circ\mathrm{C}, T_{in}=25^\circ\mathrm{C} (assumido),
  • \dot{m}_{evap}=256{,}667\\ \mathrm{kg/h},
  • L_{v,100}=2250\\ \mathrm{kJ/kg}.
Cálculo do calor sensível:
Q_{sens} = 1010\cdot 3{,}4\cdot(100-25) = 1010\cdot 3{,}4\cdot 75 = 257\,550\\ \mathrm{kJ/h}.
Cálculo do calor de vaporização:
Q_{vap} = 256{,}667\cdot 2250 = 577\,500\\ \mathrm{kJ/h}.
Total:
Q_{total} = Q_{sens} + Q_{vap} = 257\,550 + 577\,500 = 835\,050\\ \mathrm{kJ/h}.
Converter para potência (kW): 1\\ \mathrm{kW}=3600\\ \mathrm{kJ/h},
\dot{Q} = \frac{835\,050}{3600} = 231{,}958\\ \mathrm{kW}\approx 231{,}96\\ \mathrm{kW}.
Portanto o evaporador precisa fornecer aproximadamente 835\,050\\ \mathrm{kJ/h} (ou 231{,}96\\ \mathrm{kW}).

Passo 5

Determinar a vazão de vapor (steam) necessária. Explico: cada quilograma de vapor que condensa a 120^\circ\mathrm{C} libera L_{c,120}=2202\\ \mathrm{kJ/kg} para aquecer/evaporar a solução. Logo a massa de vapor necessária:
\dot{m}_{steam} = \frac{Q_{total}}{L_{c,120}} = \frac{835\,050}{2202} = 379{,}193\\ \mathrm{kg/h}\approx 379{,}19\\ \mathrm{kg/h}.
Checagem rápida: \dot{m}_{steam}\cdot L_{c,120}=379{,}193\cdot 2202\approx 835\,050\\ \mathrm{kJ/h} — bate com o requerido.

Passo 6

Dimensionamento da área de troca térmica do evaporador usando fórmula de trocador: \dot{Q}=U\,A\,\Delta T_{lm}. Tenho U e \dot{Q}, preciso calcular \Delta T_{lm} (log mean temperature difference). Explico o que é LMTD:
  • O vapor condensa à temperatura constante T_s=120^\circ\mathrm{C}.
  • A solução aquece de T_{in}=25^\circ\mathrm{C} até T_b=100^\circ\mathrm{C} (ponto onde ocorre ebulição). A diferença de temperatura entre a superfície quente (120°C) e a solução varia entre 120-25 e 120-100. Assim:
\Delta T_1 = T_s - T_b = 120 - 100 = 20\\ \mathrm{K},
\Delta T_2 = T_s - T_{in} = 120 - 25 = 95\\ \mathrm{K}.
LMTD é definido por
\Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_2 - \Delta T_1}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_2}{\Delta T_1}\right)}.
Calculemos:
\Delta T_{lm} = \frac{95 - 20}{\ln(95/20)} = \frac{75}{\ln(4{,}75)} = 48{,}1504\\ \mathrm{K}\approx 48{,}15\\ \mathrm{K}.
Agora calcule a área:
A = \frac{\dot{Q}_{W}}{U\,\Delta T_{lm}},
onde \dot{Q}_W é a potência em watts: \dot{Q}_W = 231{,}958\\ \mathrm{W} (já convertido).
A = \frac{231\,958}{1100\cdot 48{,}1504} = \frac{231\,958}{52\,965{,}44}=4{,}381\\ \mathrm{m^2}\approx 4{,}38\\ \mathrm{m^2}.
Interpretação: o evaporador precisa de aproximadamente 4{,}38\\ \mathrm{m^2} de área de troca térmica com o U dado.

Passo 7

Resumo final e todas as correntes do processo (mostro cada corrente com suas composições e vazões, para você conferir na prova rapidamente):
Correntes de alimentação (dados originais):
\begin{aligned} &\text{Fruta: }500\\ \mathrm{kg/h}\\ (\text{Sólidos }55\\ \mathrm{kg/h},\\ \text{Água }445\\ \mathrm{kg/h})\\\ &\text{Açúcar: }500\\ \mathrm{kg/h}\\ (\text{Sólidos }500\\ \mathrm{kg/h},\\ \text{Água }0\\ \mathrm{kg/h})\\\ &\text{Pectina: }10\\ \mathrm{kg/h}\\ (\text{Sólidos }10\\ \mathrm{kg/h},\\ \text{Água }0\\ \mathrm{kg/h}) \end{aligned}óÁçúóÁóÁ
Corrente mistura (alimentação ao evaporador):
\dot{m}_{feed}=1010\\ \mathrm{kg/h}\quad(\text{Sólidos }565\\ \mathrm{kg/h},\\ \text{Água }445\\ \mathrm{kg/h}).óÁ
Correntes de saída do evaporador:
\begin{aligned} &\text{Produto (doce, }75\%\\ \text{sólidos): } \dot{m}_{prod}=753{,}333\\ \mathrm{kg/h}\\ (\text{Sólidos }565\\ \mathrm{kg/h},\\ \text{Água }188{,}333\\ \mathrm{kg/h})\\\ &\text{Vapor formado (água evaporada): } \dot{m}_{evap}=256{,}667\\ \mathrm{kg/h}. \end{aligned}óóÁá
Vazão de vapor de aquecimento necessário:
\dot{m}_{steam}=379{,}193\\ \mathrm{kg/h}\\ (\text{cada kg de vapor fornece }2202\\ \mathrm{kJ}).
Potência térmica requerida:
Q_{total}=835\,050\\ \mathrm{kJ/h} \;=\;231{,}958\\ \mathrm{kW}\approx 231{,}96\\ \mathrm{kW}.
Dimensionamentos solicitados:
\begin{aligned} &V_{tanque}=0{,}202\\ \mathrm{m^3}\\ (202\\ \mathrm{L})\\\ &A_{evaporador}=4{,}381\\ \mathrm{m^2}\\ (\approx 4{,}38\\ \mathrm{m^2}) \end{aligned}

Resposta

V_{tanque}=0{,}202\\ \mathrm{m^3} (202 L)
A_{evaporador}=4{,}38\\ \mathrm{m^2}
\dot{m}_{feed}=1010\\ \mathrm{kg/h} (Fruta 500\\ \mathrm{kg/h}; Açúcar 500\\ \mathrm{kg/h}; Pectina 10\\ \mathrm{kg/h})
\Sólidos_{tot}=565\ \mathrm{kg/h}
\dot{m}_{prod}=753{,}333\\ \mathrm{kg/h} (Produto: Sólidos 565\\ \mathrm{kg/h}, Água 188{,}333\\ \mathrm{kg/h})
\dot{m}_{evap}=256{,}667\\ \mathrm{kg/h} (água evaporada)
\dot{Q}=835\,050\\ \mathrm{kJ/h}=231{,}96\\ \mathrm{kW}
\dot{m}_{steam}=379{,}19\\ \mathrm{kg/h}

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