Na produção de suco de maçã, após a extração,
de suco com
de sólidos totais é filtrado à temperatura ambiente, onde saem as impurezas com
de sólidos totais e obtém-se suco clarificado com
de sólidos totais. Este suco é pasteurizado (
) a
com água quente cuja temperatura de entrada é de
e de saída
. Considere o Cp do suco constante e igual a
, da água
.
Encontre o valor de cada corrente e dimensione o pasteurizador.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar as vazões de cada corrente depois da filtração (isto é, a vazão do suco clarificado e a vazão das impurezas) e (2) dimensionar o pasteurizador que aquece esse suco clarificado até
usando água quente que entra a
e sai a
.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Observações / suposições necessárias (não foi dada explicitamente a temperatura ambiente do suco): vou assumir que o suco filtrado está à temperatura ambiente
(isso é padrão em exercícios quando se diz “temperatura ambiente”). Vou assumir também esquema contracorrente no trocador de calor (explico o porquê adiante).
A partir daqui resolvemos: primeiro balanço de massa/sólidos para achar as correntes; depois balanço energético para dimensionar o trocador (calcular potência térmica, vazão de água necessária e área usando LMTD).
A partir daqui resolvemos: primeiro balanço de massa/sólidos para achar as correntes; depois balanço energético para dimensionar o trocador (calcular potência térmica, vazão de água necessária e área usando LMTD).
Passo 2
Balanço de massa e de sólidos no filtro — teoria rápida e fórmula:
- Conservação de massa total: a vazão de alimentação
se distribui entre clarificado e impurezas : - Conservação de sólidos: a massa de sólidos na alimentação deve ser igual à soma das massas de sólidos em
e . Se a fração de sólidos for (em massa), então massa de sólidos = vazão .
No problema:fração de sólidos na alimentação , na corrente clarificada e nas impurezas . Escrevemos as equações:
Passo 3
Resolver o sistema do balanço de sólidos — execução passo a passo:
Substituo na equação dos sólidos:
Substituo
Isolando
:
Agora substituo os números (tudo em notação TeX):
Calculo numérico:
Então
Passo 4
Verificação rápida dos sólidos (para garantir que não houve erro):
- Sólidos na alimentação:
- Sólidos na impurezas:
- Sólidos no clarificado:
Soma:— bate com a alimentação. Tudo consistente.
Passo 5
Energia necessária para aquecer o suco clarificado até
— teoria e unidades:
A potência térmica necessária é dada por
A potência térmica necessária é dada por
onde
é a vazão mássica do suco (em g/s se usamos
em
),
é o calor específico do suco e
.
Conversão e cálculos passo a passo:
Conversão e cálculos passo a passo:
Logo (em
):
Converter para Watts (
):
Passo 6
Vazão de água necessária — teoria: energia cedida pela água (assumindo calor específico
) iguala
em regime estacionário:
Como
e
, temos (em
):
Substituindo:
Converter para
:
Passo 7
Dimensionamento do trocador — teoria do LMTD (diferença média logarítmica de temperatura):
Para um trocador contracorrente, a LMTD é
Para um trocador contracorrente, a LMTD é
onde
e
(Escolhi contracorrente porque é o arranjo usual em pasteurizadores — dá maior eficiência térmica e LMTD maior do que paralelocorrente para os mesmos dados.)
Calculemos as duas diferenças:
Calculemos as duas diferenças:
Então
Passo 8
Cálculo da área necessária — fórmula básica:
Substituo
e
:
Arredondando com sentido prático,
Passo 9
Resumo dos resultados numéricos (checagens finais e unidades):
- Vazão das impurezas:
- Vazão do suco clarificado:
- Potência térmica necessária para aquecer o suco:
(≈ ). - Vazão de água quente necessária:
- Área do trocador (contracorrente,
):
Observações finais: se você tiver outra suposição para a temperatura ambiente (por exemplo
ou
), a
e, portanto,
e
mudam proporcionalmente — o balanço de massa (correntes) não muda. Se quiser, eu faço rápido com outra temperatura de entrada do suco.