Na produção de suco de maçã, após a extração, 2500 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de suco com 18 \% de sólidos totais é filtrado à temperatura ambiente, onde saem as impurezas com 96 \% de sólidos totais e obtém-se suco clarificado com 11 \% de sólidos totais. Este suco é pasteurizado ( \mathrm{U}=900 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} ) a 75^{\circ} \mathrm{C} com água quente cuja temperatura de entrada é de 90^{0} \mathrm{C} e de saída 60^{0} \mathrm{C}. Considere o Cp do suco constante e igual a 0,9 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{0} \mathrm{C}, da água 1 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{0} \mathrm{C}.
Encontre o valor de cada corrente e dimensione o pasteurizador.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar as vazões de cada corrente depois da filtração (isto é, a vazão do suco clarificado e a vazão das impurezas) e (2) dimensionar o pasteurizador que aquece esse suco clarificado até 75^\circ\mathrm{C} usando água quente que entra a 90^\circ\mathrm{C} e sai a 60^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{Vazão do suco extraído (alimentação): }F=2500\\ \mathrm{kg/h},\\\ &\text{Sólidos totais no suco alimentação: }18\% ,\\\ &\text{Sólidos nas impurezas (saída do filtro): }96\% ,\\\ &\text{Sólidos no suco clarificado: }11\% ,\\\ &\text{Pasteurização: temperatura final do suco }T_{s,out}=75^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Água quente: }T_{w,in}=90^\circ\mathrm{C},\\ T_{w,out}=60^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Coeficiente global de transferência de calor: }U=900\\ \mathrm{W/m^2K},\\\ &\text{Calor específico do suco: }c_{p,s}=0{,}9\\ \mathrm{cal/(g\,^\circ C)},\\\ &\text{Calor específico da água: }c_{p,w}=1{,}0\\ \mathrm{cal/(g\,^\circ C)}. \end{aligned}ãíçãóçãóíóçãÁêííá
Observações / suposições necessárias (não foi dada explicitamente a temperatura ambiente do suco): vou assumir que o suco filtrado está à temperatura ambiente T_{s,in}=25^\circ\mathrm{C} (isso é padrão em exercícios quando se diz “temperatura ambiente”). Vou assumir também esquema contracorrente no trocador de calor (explico o porquê adiante).
A partir daqui resolvemos: primeiro balanço de massa/sólidos para achar as correntes; depois balanço energético para dimensionar o trocador (calcular potência térmica, vazão de água necessária e área usando LMTD).

Passo 2

Balanço de massa e de sólidos no filtro — teoria rápida e fórmula:
  • Conservação de massa total: a vazão de alimentação F se distribui entre clarificado C e impurezas I: \;F=C+I.
  • Conservação de sólidos: a massa de sólidos na alimentação deve ser igual à soma das massas de sólidos em C e I. Se a fração de sólidos for x (em massa), então massa de sólidos = vazão \times x.
    No problema: \;F=2500\\ \mathrm{kg/h}, fração de sólidos na alimentação x_F=0{,}18, na corrente clarificada x_C=0{,}11 e nas impurezas x_I=0{,}96. Escrevemos as equações:
\begin{cases} F = C + I,\\[4pt] F\,x_F = C\,x_C + I\,x_I. \end{cases}]

Passo 3

Resolver o sistema do balanço de sólidos — execução passo a passo:
Substituo C = F - I na equação dos sólidos:
F x_F = (F - I)x_C + I x_I.
Isolando I:
F x_F = F x_C - I x_C + I x_I = F x_C + I(x_I - x_C),
I(x_I - x_C) = F(x_F - x_C),
I = \frac{F(x_F - x_C)}{x_I - x_C}.
Agora substituo os números (tudo em notação TeX):
I = \frac{2500\,(0{,}18-0{,}11)}{0{,}96-0{,}11} = \frac{2500\cdot 0{,}07}{0{,}85} = \frac{175}{0{,}85}.
Calculo numérico:
I \approx 205{,}88\\ \mathrm{kg/h}.
Então C = F - I = 2500 - 205{,}882\dots \approx 2294{,}12\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 4

Verificação rápida dos sólidos (para garantir que não houve erro):
  • Sólidos na alimentação: 2500\cdot 0{,}18 = 450\\ \mathrm{kg/h}.
  • Sólidos na impurezas: I\cdot 0{,}96 \approx 205{,}882\cdot 0{,}96 \approx 197{,}65\\ \mathrm{kg/h}.
  • Sólidos no clarificado: C\cdot 0{,}11 \approx 2294{,}12\cdot 0{,}11 \approx 252{,}35\\ \mathrm{kg/h}.
    Soma: 197{,}65+252{,}35=450\\ \mathrm{kg/h} — bate com a alimentação. Tudo consistente.

Passo 5

Energia necessária para aquecer o suco clarificado até 75^\circ\mathrm{C} — teoria e unidades:
A potência térmica necessária é dada por
\dot{Q} = \dot{m}_s\, c_{p,s}\,\Delta T_s,
onde \dot{m}_s é a vazão mássica do suco (em g/s se usamos c_p em \mathrm{cal/(g\,^\circ C)}), c_{p,s} é o calor específico do suco e \Delta T_s = T_{s,out}-T_{s,in}.
Conversão e cálculos passo a passo:
\dot{m}_s = 2294{,}117647\\ \mathrm{kg/h} = \frac{2294{,}117647\times 1000}{3600}\\ \mathrm{g/s} \approx 637{,}254\\ \mathrm{g/s}.
\Delta T_s = 75 - 25 = 50^\circ\mathrm{C}\quad(\text{usei }T_{s,in}=25^\circ\mathrm{C}).
Logo (em \mathrm{cal/s}):
\dot{Q}_{\text{(cal/s)}} = 637{,}254\cdot 0{,}9\cdot 50 = 637{,}254\cdot 45 \approx 28\,676{,}45\\ \mathrm{cal/s}.
Converter para Watts ( 1\\ \mathrm{cal/s}=4{,}1868\\ \mathrm{W}):
\dot{Q} \approx 28\,676{,}45\cdot 4{,}1868 \approx 120\,062{,}4\\ \mathrm{W}\approx 1{,}20\cdot 10^{5}\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Vazão de água necessária — teoria: energia cedida pela água (assumindo calor específico 1{,}0\\ \mathrm{cal/(g\,^\circ C)}) iguala \dot{Q} em regime estacionário:
\dot{Q} = \dot{m}_w\, c_{p,w}\, (T_{w,in}-T_{w,out}).
Como c_{p,w}=1{,}0\\ \mathrm{cal/(g\,^\circ C)} e (T_{w,in}-T_{w,out})=30^\circ\mathrm{C}, temos (em \mathrm{cal/s}):
\dot{m}_w = \frac{\dot{Q}_{\text{(cal/s)}}}{30}.
Substituindo:
\dot{m}_w = \frac{28\,676{,}45}{30} \approx 955{,}882\\ \mathrm{g/s}.
Converter para \mathrm{kg/h}:
\dot{m}_w = 955{,}882\cdot\frac{3600}{1000}\approx 3\,441{,}17\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 7

Dimensionamento do trocador — teoria do LMTD (diferença média logarítmica de temperatura):
Para um trocador contracorrente, a LMTD é
\Delta T_{lm}=\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)},
onde \Delta T_1 = T_{w,in}-T_{s,out} e \Delta T_2=T_{w,out}-T_{s,in}. (Escolhi contracorrente porque é o arranjo usual em pasteurizadores — dá maior eficiência térmica e LMTD maior do que paralelocorrente para os mesmos dados.)
Calculemos as duas diferenças:
\Delta T_1 = 90 - 75 = 15^\circ\mathrm{C},\qquad \Delta T_2 = 60 - 25 = 35^\circ\mathrm{C}.
Então
\Delta T_{lm}=\frac{15-35}{\ln(15/35)}=\frac{-20}{\ln(0{,}428571)}\approx 23{,}613^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Cálculo da área necessária — fórmula básica:
\dot{Q} = U\,A\,\Delta T_{lm}\quad\Rightarrow\quad A=\frac{\dot{Q}}{U\,\Delta T_{lm}}.
Substituo \dot{Q}=120\,062{,}4\\ \mathrm{W},\\ U=900\\ \mathrm{W/m^2K} e \Delta T_{lm}\approx 23{,}613\\ \mathrm{K}:
A=\frac{120\,062{,}4}{900\cdot 23{,}613}\approx \frac{120\,062{,}4}{21\,251{,}7}\approx 5{,}648\\ \mathrm{m^2}.
Arredondando com sentido prático, A\approx 5{,}65\\ \mathrm{m^2}.

Passo 9

Resumo dos resultados numéricos (checagens finais e unidades):
  • Vazão das impurezas: I\approx 205{,}88\\ \mathrm{kg/h}.
  • Vazão do suco clarificado: C\approx 2294{,}12\\ \mathrm{kg/h}.
  • Potência térmica necessária para aquecer o suco: \dot{Q}\approx 120{,}062\\ \mathrm{W} (≈ 120{,}1\\ \mathrm{kW}).
  • Vazão de água quente necessária: \dot{m}_w\approx 3441{,}17\\ \mathrm{kg/h}.
  • Área do trocador (contracorrente, U=900\\ \mathrm{W/m^2K}): A\approx 5{,}65\\ \mathrm{m^2}.
Observações finais: se você tiver outra suposição para a temperatura ambiente (por exemplo 20^\circ\mathrm{C} ou 30^\circ\mathrm{C}), a \dot{Q} e, portanto, \dot{m}_w e A mudam proporcionalmente — o balanço de massa (correntes) não muda. Se quiser, eu faço rápido com outra temperatura de entrada do suco.

Resposta

I \approx 205{,}88\\ \mathrm{kg/h}
C \approx 2294{,}12\\ \mathrm{kg/h}
\dot{Q} \approx 120{,}062\\ \mathrm{W}
\dot{m}_w \approx 3441{,}17\\ \mathrm{kg/h}
A \approx 5{,}65\\ \mathrm{m^2}

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