A fabricação de máscaras para o controle sanitário do Novo Coronavírus aumentou muito ultimamente, mas em alguns casos as máscaras produzidas apresentam defeitos de fabricação que inviabilizam seu uso pelas pessoas. Numa certa fábrica, sabe-se que 0,4 % da produção de máscaras apresenta esse tipo de defeito. Um lote de 5000 máscaras dessa fábrica acaba de ser entregue em uma escola para ajudar nos protocolos de retorno às aulas presenciais. A diretoria da escola lhe pede para estimar o número de máscaras defeituosas no lote recebido. Para tanto, você define a variável aleatória X como sendo o número de máscaras com defeito no lote entregue e considera que X tem distribuição Binomial.
Utilizando a distribuição Normal para aproximar a variável Binomial, calcule a probabilidade aproximada de haver no máximo 30 máscaras defeituosas no lote recebido. A probabilidade calculada é:
(a) Menor que 50 %
(b) Maior ou igual a 50 % e menor que 75 %
© Maior ou igual a 75 % e menor que 90 %
(d) Maior ou igual a 90 % e menor que 97,5 %
(e) Maior que 97,5 %

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que uma fábrica tem 0,4 % de máscaras defeituosas e entregou um lote de 5000 máscaras na escola. A variável P(X <= 30) = número de máscaras defeituosas segue uma Binomial de parâmetros e . A gente vai usar a aproximação Normal para estimar
Ou seja, o conteúdo é Distribuição Binomial e Aproximação pela Distribuição Normal (com correção de continuidade). Precisamos:
  1. Calcular média e desvio padrão da binomial.
  2. Fazer correção de continuidade.
  3. Padronizar para a Normal Padrão.
  4. Consultar a tabela da Normal (ou usar software) para achar a probabilidade.

Passo 2

Primeiro, a média e a variância da Binomial:
mu = np = 5000 times 0,004 = 20,
sigma^2 = np(1-p) = 5000 times 0,004 times 0,996 = 19,92,
então o desvio padrão é
sigma = raiz19,92approx 4,464

Passo 3

Como a gente usa aproximação Normal para variável discreta, aplica a correção de continuidade. Queremos
P(X <= 30)approx Pl(X <= 30,5r)
Isso evita erro de arredondamento por pular exatamente o 30.

Passo 4

Agora padroniza para a Normal Padrão Z = X - musigma, :
P(X <= 30,5) = P!l(Z <= 30,5 - 204,464r) = P!l(Z <= 2,353r)
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Da tabela da Normal, , ou seja cerca de 99,06 %.

Passo 5

Isso significa que a probabilidade de ter até 30 máscaras defeituosas é aproximadamente 99,06 %, bem alta.

Resposta

(e) Maior que 97,5 %

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