Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes e com distribuição Normal. A variável X tem média 12 e desvio padrão 2 . A varíável Y tem média 4 e desvio padrão 3 . Defina W=X-2 Y e calcule P(0 <= W <= 10).
(a) P(0 <= W <= 10)=67,3 %
(b) P(0 <= W <= 10)=21,2 %
© P(0 <= W <= 10)=76,1 %
(d) P(0 <= W <= 10)=88,49 %
(e) P(0 <= W <= 10)=4,85 %

Passo 1

Então, resumindo o que o enunciado pede: temos duas variáveis aleatórias independentes e Normais,
X∼N(12, 2²) e Y∼N(4, 3²). Definimos W = X − 2Y e queremos P(0 ≤ W ≤ 10).
Isso envolve conteúdo de combinação linear de Normais (esperança e variância) e depois padronizar pra usar a tabela da Normal padrão.

Passo 2

Calcular a esperança de W usando linearidade:
E[W] = 12 - 2cdot4 = 12 - 8 = 4 .
Como E[X]=12 e E[Y]=4, dá

Passo 3

Calcular a variância de W. Pra variância de combinação linear e com independência vale
.
Aqui a=1, b=−2, Var[X]=2²=4, Var[Y]=3²=9, logo
E o desvio padrão é Var[W] = 1^2cdot4 + (-2)^2cdot9 = 4 + 4cdot9 = 4 + 36 = 40

Passo 4

Agora padronizamos W pra achar P(0≤W≤10) em termos de Z∼N(0,1):
P(0 <= W <= 10) = Pl(0 - 4raiz40 <= Z <= 10 - 4raiz40r)
Calculamos
z1 = 0 - 4raiz40 approx -0,6325, z2 = 10 - 4raiz40 approx 0,9487

Passo 5

Usando a tabela da Normal padrão:
P(0<= W<=10) approx 0,8286 - 0,2635 = 0,5651 e

Então

Resposta

boxedP(0 <= W <= 10)approx 0,5651 (ou 56,51%)

Exercícios relacionados