Sejam
e
duas variáveis aleatórias independentes e com distribuição Normal. A variável
tem média 12 e desvio padrão 2 . A varíável Y tem média 4 e desvio padrão 3 . Defina
e calcule
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Então, resumindo o que o enunciado pede: temos duas variáveis aleatórias independentes e Normais,
X∼N(12, 2²) e Y∼N(4, 3²). Definimos W = X − 2Y e queremos P(0 ≤ W ≤ 10).
Isso envolve conteúdo de combinação linear de Normais (esperança e variância) e depois padronizar pra usar a tabela da Normal padrão.
X∼N(12, 2²) e Y∼N(4, 3²). Definimos W = X − 2Y e queremos P(0 ≤ W ≤ 10).
Isso envolve conteúdo de combinação linear de Normais (esperança e variância) e depois padronizar pra usar a tabela da Normal padrão.
Passo 2
Calcular a esperança de W usando linearidade:
.
Como E[X]=12 e E[Y]=4, dá
Como E[X]=12 e E[Y]=4, dá
Passo 3
Calcular a variância de W. Pra variância de combinação linear e com independência vale
.
Aqui a=1, b=−2, Var[X]=2²=4, Var[Y]=3²=9, logo
.
Aqui a=1, b=−2, Var[X]=2²=4, Var[Y]=3²=9, logo
E o desvio padrão é
Passo 4
Agora padronizamos W pra achar P(0≤W≤10) em termos de Z∼N(0,1):
Calculamos
Passo 5
Usando a tabela da Normal padrão:
e
Então
Então