O preço de um produto no decorrer dos meses
é dado por
. Obtenha uma estimativa do preço médio do produto no intervalo de meses de
até
. (Observação: Obtenha a estimativa do valor da integral usando
subdivisões.)
Passo 1
O enunciado dá a lei do preço ao longo do tempo e pede uma estimativa do preço médio entre dois meses, usando uma aproximação numérica com
subdivisões.\n
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
Intervalo pedido: de
até
.\n
Condição adicional obrigatória: estimar o valor da integral usando
subdivisões.
Condição adicional obrigatória: estimar o valor da integral
Passo 2
O que pede exatamente “preço médio”?\n
A definição de valor médio de uma função no intervalo
é:
A definição de valor médio de uma função
Aqui
é o preço
,
,
. Então precisamos calcular (ou estimar)
A única parte que vamos aproximar numericamnete, conforme pedido, é a integral
usando
.
Passo 3
Escolha do método de aproximação.\n
O enunciado só pede “usar subdivisões” e não especifica qual soma de Riemann ou regra. Vou usar a regra composta do trapézio (método trapezoidal) porque:
O enunciado só pede “usar
- é simples de aplicar com
subdivisões; - costuma ser ensinada logo após as somas de Riemann e é mais precisa que as somas à esquerda/direita para funções suaves;
- é eficiente de calcular à mão com
.\n
Se você preferir, o mesmo problema pode ser resolvido com somas de Riemann, regra dos pontos médios ou Simpson (este último exigepar e dá ainda mais precisão), mas o trapézio é uma boa escolha básica e prática.
Passo 4
Fórmula da regra composta do trapézio e definição das quantidades.\n
Para ,
e
temos o passo (largura de cada subintervalo)
Para
A regra composta do trapézio diz:
onde
para
.
Passo 5
Calcular
e os nós
.\n
Calculemos :
Calculemos
Os nós são
, ou explicitamente:
Passo 6
Calcular os valores
em cada nó (vou mostrar o cálculo do quadrado e depois somar 100).\n
Passo 7
Aplicar a fórmula do trapézio: somar os termos e multiplicar por
.\n
Primeiro a soma dos termos interiores :
Primeiro a soma dos termos interiores
Agora compute
.\n
Então a aproximação da integral é
Então a aproximação da integral é
Passo 8
Calcular o preço médio usando a integral estimada.\n
Como o valor médio é vezes a integral, temos a estimativa
Como o valor médio é
Interpretação rápida: isso diz que, segundo a aproximação pela regra do trapézio com
, o preço médio do produto entre o mês 5 e o mês 10 é aproximadamente
(unidade monetária).
Passo 9
(uau, uma checagem rápida — opcional, para você ver como ficou a precisão)\n
Podemos também calcular a integral exatamente para ver o erro da aproximação. A integral exata é
Podemos também calcular a integral exatamente para ver o erro da aproximação. A integral exata é
logo
O valor médio exato seria
.\n
Comparando: a estimativa obtida pelo trapézio com foi
, muito próxima do valor exato
. O erro é pequeno (aprox.
) — isto mostra que a regra do trapézio com
já dá uma boa aproximação neste caso.
Comparando: a estimativa obtida pelo trapézio com