O preço de um produto no decorrer dos meses x é dado por p=x^{2}+100. Obtenha uma estimativa do preço médio do produto no intervalo de meses de x=5 até x=10. (Observação: Obtenha a estimativa do valor da integral usando n=10 subdivisões.)

Passo 1

O enunciado dá a lei do preço ao longo do tempo e pede uma estimativa do preço médio entre dois meses, usando uma aproximação numérica com n=10 subdivisões.\n
Dados fornecidos:
p(x)=x^{2}+100
Intervalo pedido: de x=5 até x=10.\n
Condição adicional obrigatória: estimar o valor da integral \displaystyle\int_{5}^{10} p(x)\,dx usando n=10 subdivisões.

Passo 2

O que pede exatamente “preço médio”?\n
A definição de valor médio de uma função f no intervalo [a,b] é:
\text{valor médio}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx.é
Aqui f é o preço p, a=5, b=10. Então precisamos calcular (ou estimar)
\frac{1}{10-5}\int_{5}^{10} \bigl(x^{2}+100\bigr)\,dx=\frac{1}{5}\int_{5}^{10}\bigl(x^{2}+100\bigr)\,dx.
A única parte que vamos aproximar numericamnete, conforme pedido, é a integral \int_{5}^{10} (x^{2}+100)\,dx usando n=10.

Passo 3

Escolha do método de aproximação.\n
O enunciado só pede “usar n=10 subdivisões” e não especifica qual soma de Riemann ou regra. Vou usar a regra composta do trapézio (método trapezoidal) porque:
  • é simples de aplicar com n subdivisões;
  • costuma ser ensinada logo após as somas de Riemann e é mais precisa que as somas à esquerda/direita para funções suaves;
  • é eficiente de calcular à mão com n=10.\n
    Se você preferir, o mesmo problema pode ser resolvido com somas de Riemann, regra dos pontos médios ou Simpson (este último exige n par e dá ainda mais precisão), mas o trapézio é uma boa escolha básica e prática.

Passo 4

Fórmula da regra composta do trapézio e definição das quantidades.\n
Para a=5, b=10 e n=10 temos o passo (largura de cada subintervalo)
h=\frac{b-a}{n}=\frac{10-5}{10}.
A regra composta do trapézio diz:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx h\left(\frac{f(x_{0})+f(x_{n})}{2}+\sum_{i=1}^{n-1} f(x_{i})\right),
onde x_{i}=a+i\,h para i=0,1,\dots,n.

Passo 5

Calcular h e os nós x_{i}.\n
Calculemos h:
h=\frac{10-5}{10}=0{,}5.
Os nós são x_{i}=5+i\cdot 0{,}5, ou explicitamente:
x_{0}=5,\; x_{1}=5{,}5,\; x_{2}=6,\; x_{3}=6{,}5,\; x_{4}=7,\; x_{5}=7{,}5,
x_{6}=8,\; x_{7}=8{,}5,\; x_{8}=9,\; x_{9}=9{,}5,\; x_{10}=10.

Passo 6

Calcular os valores f(x_{i})=p(x_{i})=x_{i}^{2}+100 em cada nó (vou mostrar o cálculo do quadrado e depois somar 100).\n
\begin{aligned} f(x_{0})&=5^{2}+100=25+100=125,\\[4pt] f(x_{1})&=5{,}5^{2}+100=30{,}25+100=130{,}25,\\[4pt] f(x_{2})&=6^{2}+100=36+100=136,\\[4pt] f(x_{3})&=6{,}5^{2}+100=42{,}25+100=142{,}25,\\[4pt] f(x_{4})&=7^{2}+100=49+100=149,\\[4pt] f(x_{5})&=7{,}5^{2}+100=56{,}25+100=156{,}25,\\[4pt] f(x_{6})&=8^{2}+100=64+100=164,\\[4pt] f(x_{7})&=8{,}5^{2}+100=72{,}25+100=172{,}25,\\[4pt] f(x_{8})&=9^{2}+100=81+100=181,\\[4pt] f(x_{9})&=9{,}5^{2}+100=90{,}25+100=190{,}25,\\[4pt] f(x_{10})&=10^{2}+100=100+100=200. \end{aligned}]

Passo 7

Aplicar a fórmula do trapézio: somar os termos e multiplicar por h.\n
Primeiro a soma dos termos interiores f(x_{1})+\dots+f(x_{9}):
\begin{aligned} &130{,}25+136+142{,}25+149+156{,}25+164+172{,}25+181+190{,}25\\\ &=1421{,}25. \end{aligned}
Agora compute \dfrac{f(x_{0})+f(x_{10})}{2}=\dfrac{125+200}{2}=162{,}5.\n
Então a aproximação da integral é
\int_{5}^{10}\bigl(x^{2}+100\bigr)\,dx \approx h\Bigl(\frac{f(x_{0})+f(x_{10})}{2}+\sum_{i=1}^{9} f(x_{i})\Bigr)
=0{,}5\bigl(162{,}5+1421{,}25\bigr)=0{,}5\cdot 1583{,}75=791{,}875.

Passo 8

Calcular o preço médio usando a integral estimada.\n
Como o valor médio é \dfrac{1}{5} vezes a integral, temos a estimativa
\text{preço médio}\approx\frac{1}{5}\cdot 791{,}875 =158{,}375.çé
Interpretação rápida: isso diz que, segundo a aproximação pela regra do trapézio com n=10, o preço médio do produto entre o mês 5 e o mês 10 é aproximadamente 158{,}375 (unidade monetária).

Passo 9

(uau, uma checagem rápida — opcional, para você ver como ficou a precisão)\n
Podemos também calcular a integral exatamente para ver o erro da aproximação. A integral exata é
\int (x^{2}+100)\,dx=\frac{x^{3}}{3}+100x,
logo
\int_{5}^{10}\bigl(x^{2}+100\bigr)\,dx=\left(\frac{10^{3}}{3}+100\cdot 10\right)-\left(\frac{5^{3}}{3}+100\cdot 5\right)
=\frac{1000-125}{3}+500=\frac{875}{3}+500=291{,}666\ldots+500=791{,}666\ldots
O valor médio exato seria \dfrac{1}{5}\cdot 791{,}666\ldots=158{,}333\ldots.\n
Comparando: a estimativa obtida pelo trapézio com n=10 foi 158{,}375, muito próxima do valor exato 158{,}333\ldots. O erro é pequeno (aprox. 0{,}0417) — isto mostra que a regra do trapézio com n=10 já dá uma boa aproximação neste caso.

Resposta

158{,}375

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