Um fabricante afirma que 10 \% das válvulas produzidas apresentam defeitos. Em uma amostra de 200 válvulas, verificou-se que 25 apresentaram defeitos.
Realize o teste com um nível de significância \alpha=0,05 mas agora supondo que de 2000 válvulas, verificou-se que 250 apresentaram defeito

Passo 1

O enunciado trata de um teste de hipóteses para proporção de defeitos em válvulas. O fabricante afirma que a proporção verdadeira é p_{0}=0{,}10. Em uma amostra de n=2000 válvulas, observou-se x=250 defeitos. Queremos testar, ao nível de significância \alpha=0{,}05, se há evidência de que a proporção real difere de 10\%.

Passo 2

Formulamos as hipóteses da seguinte forma, pois não foi dada direção específica e queremos simplesmente verificar se a proporção difere de 0{,}10:
H_{0}:p = 0{,}10
H_{1}:p \neq 0{,}10
Esse é um teste bilateral para proporção.

Passo 3

Verificamos as condições para usar a aproximação normal (teste z para proporções):
  • n p_{0} = 2000 \times 0{,}10 = 200 \ge 5,
  • n(1-p_{0}) = 2000 \times 0{,}90 = 1800 \ge 5.
    Como ambas as quantidades são maiores que 5, podemos seguir com o teste z.

Passo 4

Calculamos a proporção amostral
\widehat{p} = \frac{x}{n} = \frac{250}{2000} = 0{,}125
e o erro-padrão sob H_{0}:
\mathrm{SE} = \sqrt{\frac{p_{0}(1-p_{0})}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}10 \times 0{,}90}{2000}} = \sqrt{0{,}000045} \approx 0{,}00671.

Passo 5

A estatística de teste z é
z = \frac{\widehat{p} - p_{0}}{\mathrm{SE}} = \frac{0{,}125 - 0{,}10}{0{,}00671} \approx 3{,}73.
Para \alpha=0{,}05 em um teste bilateral, os pontos críticos são \pm z_{0{,}975}= \pm 1{,}96. Como 3{,}73 > 1{,}96, caímos na região de rejeição de H_{0}. Alternativamente, o p-valor bilateral é
\text{p-valor} = 2\bigl[1-\Phi(3{,}73)\bigr]\approx 2\times 0{,}0001 = 0{,}0002 < 0{,}05.

Passo 6

Como o valor de z está muito além de 1{,}96 e o p-valor é muito menor que \alpha, rejeitamos H_{0}. Há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que a proporção de defeitos difere de 10\%.

Resposta

Rejeita-se H_{0}; a proporção de válvulas com defeito não é 10\% (estatística z\approx3{,}73, p-valor \approx0{,}0002).

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